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1、解三角形解三角形主题单元设计主题单元设计主题单元标题主题单元标题解三角形解三角形作者姓名高平所属单位山东省庆云第一中学联系地址山东省庆云第一中学联系电话0534-7088688电子邮箱邮政编码253700学科领域学科领域 （在内打 表示主属学科，打 + 表示相关学科） 思想品德音乐 化学+ 信息技术劳动与技术语文美术 生物 + 科学 数学外语历史社区服务体育 + 物理 地理+社会实践其他（请列出）：适用年级适用年级高中二年级所需时间所需时间5 课时主题单元概述主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数 30
2、0-500)本单元是高中数学教材中重要的一部分，内容包括“正弦定理” 、 “余弦定理” 、 “应用举例”三个方面。正弦定理和余弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活中常常涉及解三角形的问题。在本主题单元中，我们把内容设计成三个专题来组织学习活动。专题一：用正弦定理解三角形。专题二：如何用余弦定理解三角形。专题三：如何在实际测量中利用正余弦定理。主题学习目标主题学习目标 (描述该主题学习所要达到的主要目标)知识与技能：1、 掌握正，余弦定理2， 会运用正余弦定理解斜三角形 3、 能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题；
3、4、能用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。过程与方法：1、使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。2、在利用正余弦定理来解已知两角及一边的三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。3、通过对正余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性。4、通过学生合作探究，利用正余弦定理解决不可到达的两点间的距离，测量底部不可到达的建筑物的高度，测量角度，培养学生学以致用的能力。情感态度与价值观：1、通过对三角形边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；
4、2、通过运用正余弦定理解决一些简单的实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式去解决问题、认识世界3、培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值4、提高学生解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值 对应课标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 主题单元问
5、题主题单元问题设计设计1、 如何用正弦定理解三角形？2、如何用余弦定理解三角形？3、如何测量不可到达的两点间的距离？4、如何测量底部不可到达的建筑物的高度？专题划分专题划分专题一：如何用正弦定理解三角形 （ 1 课时） 专题二：如何用余弦定理解三角形 （ 1 课时）专题三：如何在实际测量中利用正余弦定理 （ 3 课时）专题一专题一如何用正弦定理解三角形所需课时所需课时1 课时专题一概述专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)在初中学习过关于任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角关系，并掌握了解直角三角形的相关内容，本专题提出一般三角形中能否把
6、边角关系准确量化的表示，从而得出正弦定理，并借助正弦定理解决已知两边和一边对角，以及已知两角和任意一边两类问题，进一步推导得出三角形的面积公式。这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了一个全新认识，同时使新知识建立在已有知识的基础上，形成良好的知识结构，在学法上主要指导学生掌握“观察猜想证明应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。本专题学习目标本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题
7、的优越性，感受数学论证的严谨性.2、理解三角形面积公式，能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。3、通过对实际问题的探索，培养学生的数学应用意识，激发学生学习的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务与生活。本专题问题设计本专题问题设计1、根据三角函数的定义，能否得到直角三角形中边角量化的准确表示？2、直角三角形中边角的量化关系式对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立？3、正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？4、什么叫解三角形？5、利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？6、如何用三角形中的边角表示三角形的面积？
8、所需教学材料和资源所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)信息化资源电脑及相关软件常规资源计算器教学支撑环境多媒体教室其 他学案、笔、纸学习活动设计学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）活动一：创设情景，导入新课创设情景，导入新课船从港口 A 航行到港口 B，测得 AB 的距离为 6 千米，在港口 B 卸货后将继续向港口 C 航行，但此时船员发现仪表坏了，将不能测量距离，如果船上有测角仪，测得，我们能否帮他计算出B6045CAC 的距离？这是一个实际问题，我们可以将此转化为数学问题：“在ABC 中，已知， AB = 6 千米，求 AC 的长.”B6045C老师：这里A
9、BC 是斜三角形，已知两角一边，求边长 AC. 思考能否求出 AC？ 学生：过点 A 作高老师：很好！这位同学是把问题转化到了直角三角形中来解决的。让学生表述解题思路，教师板书。解：过 A 作ABDC在中，BRt A DAsinBAAB sinB=2 3ABDD在中，CRt ADAAsinCC2 6CsinCDDAAABCDbcaABCDbca活动二：逻辑推理，探究证明活动二：逻辑推理，探究证明老师：这个问题我们解决了，但我们思考不能停止，探索也不能停止。这只是一个特例，我们把它转化为一个一般问题，再加以研究，可能更具有价值。我们把数值去掉得：，在C sinC sinABABABC 中，一般用
10、小写的字母表示边长。，你能发现什么？BaC ABc学生：bc sinBsinC老师：我们看这个等式，b 比上它所对角的正弦值=c 比上它所对角的正弦值，而三角形中有三条边和三个角，你还能猜想出什么？学生：bca sinBsinsinAC老师：这只是你合理化猜想，能给出证明吗？学生：过 B 作或者过 C 作即可，过程同上。BADCCABD 老师：很好，同理可证，得。bca sinBsinsinAC刚才ABC 是锐角三角形，对于直角三角形和钝角三角形是否也有这样的关系呢？ 老师：这两个都可以证明（有兴趣的同学课后可以证明一下） ，通过证明，我们发现，在直角和钝角三角形中这个结论都成立。结论：对任意
11、，总有，我们把这条性质称为正弦定理。正弦定理。ABCsinsinsinabc ABC（这就是今天要讲的内容，把课题写在黑板上）老师：以上我们通过构造直角三角形的方法，分锐角，直角，钝角三种情况证明了正弦定理，感觉比较麻烦，有没有其他更好的办法证明正弦定理呢？学生：可以放在坐标系中研究。（预习过的学生应该知道，如果没人回答，教师引导：我们前面学习了任意三角比的定义和 展开式的推导，都是在哪里研究的？学生：放在坐标系中研究的）cos 老师：我们先来回忆一下任意角的三角比的定义。我们常利用坐标系研究有关角的问题，那么我们能否利用坐标法证明正弦定理呢？ABCDcbaABCDcbaABCac bABCa
12、c b如图建立直角坐标系。 老师：你能写出点 A 的坐标吗？学生：Ac cosBc sinB 老师：随着角 B 从锐角变到直角在变到钝角，点 A 的坐标形式会发生变化吗？学生代表：不会，永远是。Ac cosBc sinB 老师：那么我们可以发现：点 A 到 BC 的距离是，而 BC = a，在三角形中知道了底边和c sinB 底边上的高，我们能想到什么呢？学生：三角形的面积。老师：，这里我们得到了一个新的三角形面积公式。ABC1SBCA1a csinB2D2 三角形中有三条边和三个角，他们的地位是等价的，如果轮换 A，B，C，我们还可以得到什么学生：同理可得：。ABCABC11Sa bsinC
13、Sb csinA22 老师：所以ABC111Sb csinAa csinBa bsinC222 哪位同学能用文字语言叙述一下这个新的三角形面积公式？学生：三角形的面积 = 任意两边与他们夹角的正弦的积的一半。老师：接下来等式的左、中、右同除以，即得：1abc2sinsinsinabc ABC这种证明方法的优点是避免了繁杂的分类讨论，但我们同学对坐标法接触不多，不容易想到，在今后学到解析几何后，可以进一步的体会到坐标法解决几何问题的优越性。活动三：解读定理，加深理解活动三：解读定理，加深理解正弦定理：sinsinsinabc ABC老师提问：这个定理在结构上有何特征？学生：各边与其对角的正弦严格
14、对应，体现了数学的对称美. 老师：哪位同学能用文字语言叙述正弦定理学生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等老师：学习了正弦定理，那它有什么用呢？让我们先来了解一下“解三角形”的概念 ：一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素。已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做“解三角形” 。正弦定理是解三角形的工具之一。ACBc( , )c cosB c sinB abDxyACBc( , )c cosB c sinB c cosB c sinB abD Dxyxy老师：正弦定理：可以写成几个等式？sinsinsinabc ABC学生：三个：sins
15、insinsinsinsinabacbc ABACBC老师：如果用方程的观点，需要知道几个量，才能求出其他量？学生：知道三个。老师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。教师：现在大家能不能直接用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：马上得出在中， ABCa sinAsinc Ca sin6 sin452 6 ksinAsin60Ccm 教师：正弦定理可以解决：已知两角和一边，求另外一边的问题。 （一边是任意的）正弦定理还可以解决什么问题？学生：已知两边和一角的问题。教师：是不是任意一个角？（学生思考）学生：只能是两边和其中一边的对角的问题。活动四：求解例题，巩固定理活动四：求解例题，巩固定理例例.在ABC 中，已知 A=30，c=8,a=5,求 C、B 和 b(结果保留两位小数)由正弦定理得sin8sin30sin0.85cACao或（注意：考虑不周，遗漏钝角）53.13C o126.87C o当时，53.13C o96.87B osin5sin96.879.93sinsin30aBbAoo当时，.126.87C o23.13B
