五法求二面角

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1、五法求二面角五法求二面角一、一、定义法：定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二 面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条 射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 SAMB 中 半平面 ABM 上的一已知点（B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F） ；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF） ，这两条垂线（BF、GF）便形成该 二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三 角函数、正弦定理与余弦定理解题

2、。例 1（2009 全国卷理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD 2DCSD，点 M 在侧棱SC上，ABM=60（I）证明：M 在侧棱SC的中点（II）求二面角SAMB的大小。证（I）略 解解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作GFAM，GF 交 AS 于 G，连结 AC，ADCADS，AS-AC，且 M 是 SC 的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又F为 AM 的中点，GF 是AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。则GFB即为所求二面角.，则，又，

3、2SM22GF6 ACSA2AM，是等边三角形， 2 ABAM060ABMABM3BF在中，GAB26AG2AB090GAB211423BG366232222113212cos222 FBGFBGFBGFBFGFGFG二面角SAMB的大小为)36arccos(练习 1（2008 山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面 ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.60ABC （）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦6 2值. 分析分析：第 1 题容易发现，可通过证 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命

4、题获证，而第 2 题，则首先必 须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二 面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。 （答案：二面角的余弦值为）515二、三垂线法二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定 理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC1-C中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC

5、1 的垂线，得垂足 P，连结起点与终点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP） 。再解直角三角形求二面 角的度数。 例 2(2009 山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。（1） 证明：直线 EE1/平面 FCC1；（2） 求二面角 B-FC1-C 的余弦值。 证（1）略 解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形,取 CF 的

6、中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,CC1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC1-C 的一个平面角, 在BCF 为正三角形中,3OB ,在 RtCC1F 中, OPFCC1F,11OPOF CCC F22122222OP , 在 RtOPF 中,22114322BPOPOB,2 72cos714 2OPOPBBP,所以二面角 B-

7、FC1-C 的余弦值为7 7.练习 2（2008 天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形ABCDP ABCD已知o60,22, 2, 2, 3PABPDPAADAB（）证明平面；ADPAB （）求异面直线与所成的角的大小；PCAD （）求二面角的大小ABDP 分析分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角 问题，在证明 AD平面 PAB 后，容易发现平面 PAB平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面 上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD 的垂线，于是可形 成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。 （答案：二面角的大小为）ABDP439ar

8、ctan三补棱法三补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明 确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完 整，使之有明确的交线（称为补棱） ，然后借助前述 的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交 线时，一般用补棱法解决例 3（2008 湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是边长为 1 的菱形，BCD60，E是CD 的中点，PA底面ABCD，PA2.（）证明：平面PBE平面PAB; （）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角） 的大小. 分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整A BCEDP（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）

9、再在完整图形中的PF.上找一个适合的 点形成二面角的平面角解之。 （）证略 解: （）延长AD、BE相交于点F，连结PF. 过点A作AHPB于H，由（）知 平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE. 在 RtABF中，因为BAF60， 所以，AF=2AB=2=AP. 在等腰 RtPAF中，取PF的中点G，连接 AG. 则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理 得， PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所 成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF中， 22.2AGPA在 RtPAB中， 2222 5.55AP ABAP ABAHPBAPAB gg所以，在 RtAHG中， 2 5 1

10、05sin.52AHAGHAG故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5练习 3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的棱长都 是 a，侧棱与底面成 600的角，侧面 BCC1B1底面 ABC。 （1）求证：AC1BC； （2）求平面 AB1C1与平面 ABC 所成的二面 角（锐角）的大小。 提示：本题需要补棱，可过 A 点作 CB 的平 行线 L （答案：所成的二面角为 45O）四、四、射影面积法（）cossSq=射射凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。斜射 SSA BCEDPFGH

11、ACBB1C1A1L例 4 （2008 北京理）如图，在三棱锥中，PABC2ACBC，90ACBo，APBPABPCAC （）求证：；PCAB （）求二面角的大小；BAPC 分析：本题要求二面角 BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到 在平面 ABP 与平面 ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S原与 S射 于是得到下面解法。 解：（）证略 （），ACBCQAPBPAPCBPC 又，PCACPCBC又，即，且，90ACBoACBCACPCCI平面BCPAC 取中点连结APEBECE， ，ABBPQBEAP 是在平面内的射影，ECQBEPAC CEAP ACE 是ABE 在

12、平面 ACP 内的射影， 于是可求得：，2222CBACAPBPAB622AEABBE则，2 ECAE12221 21CEAESSACE射36221 21EBAESSABE原设二面角二面角的大小为的大小为，则，则BAPC3331cos原射 SS二面角的大小为BAPC33arccos练习 4： 如图 5，E 为正方体ABCDA1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值. .分析分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形 AB1E 在平

13、面 A1B1C1D1上的射影是三角形 A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。ACBEPACBPA1D1B1C1EDBCA图 5（答案：所求二面角的余弦值为 cos=）.32五、向量法向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有 的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空 间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的 向量，进行向量计算解题。 例 4：（2009 天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=

14、FE=1 2AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面 AMD平面 CDE； 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角 坐标系，以点A为坐标原点。设，1AB依题意得 ，001B，011C ，020D ， 110E ，100F.21121M ，（I），解：101BF ， 110DE .2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060 .（II）证明：，由 21121AM ，101CE 0AMCE020AD，可得，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE. 0ADCE平面，故又，因此，I.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而 （III） . 0D0)(CDE EuCEuzyxu，则，的法向量为解：设平面 .111 (1. 00），可得令，于是 uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v练习 5、 （2008