花瓣面积是多少花瓣面积是多少湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 a，分别以正方形 ABCD 的四条边为 直径作半圆，你能求出四个半圆围成的花瓣的面积吗？或许你会认为这 个问题比较简单，观察图形不难发现：四个半圆围成的花瓣的面积等于 四个半圆的面积减去正方形 ABCD 的面积，即两个圆的面积减去正方形ABCD 的面积，等于=．图 1上面的问题相对简单，难不住你，下面的问题可就没有那么简单啰：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 a，分别以 A，B，C，D 为圆心，边 长 a 为半径画弧，四条弧两两相交于 E，F，G，H，求四条弧围成的花瓣 的面积．图 2 图 2 中的花瓣一共有两朵花瓣组成，每朵花瓣的面积仍然不难求 出．不过由于这两朵花瓣有重叠部分，无疑增加了求解难度．到底应该 怎样求四条弧围成的花瓣的面积呢？分析：分析：与围成的花瓣面积为=，同理与围成的花瓣面积也为．所以四条弧围成的花瓣的面积=-曲四边形EFGH 的面积，所以关键是求出曲四边形 EFGH 的面积．图 3解：解：如图 3，连结 EG、FH 交于点 O，延长 GE 交 CD 于点 M．由正方形的对称性易知 CM=OM=，△COG≌△COF．在 Rt△CMG 中，GM==，CM=，∴∠CGM=30°．∴∠GCO=∠COM-∠CGM=45°-30°=15°．∴∠GCF=2∠GCO=30°．∴S扇形 GCF==．又 S△COG=S△CMG-S△CMO=-=，∴S扇形 GCF-S△COG-S△COF===S曲四边形 EFGH．∴S曲四边形 EFGH==．∴四条弧围成的花瓣的面积=-=．上述解法的思路是根据“两朵花瓣的面积减去曲四边形 EFGH 的面 积”求解，实际上，我们也可以通过列方程组求解．如图 4，设各部分的 面积分别为 x，y，z，根据“正方形的面积为 a2”可得方程4x+4y+z=a2．根据“扇形 ABC 的面积为”可得方程 2x+3y+z=．列第三个方程有一定困难．注意到△ABE 是一个等边三角形，S拱形 AFE= S拱形 BHE，于是 x+2y+z-S扇形 BAE=S扇形 BAE-S△ABE，即．图 4解方程组，得∴4y+z==．即四条弧围成的花瓣的面积．。