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1、1关于高阶线性微分方程的一般解法关于高阶线性微分方程的一般解法林文业湛江公路工程大队 邮编:52400 电话 0668-8322239(本文曾于 2000 年在湛江师范学报.增刊发表)摘要摘要: 对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了 它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式.关键词关键词: 高阶线性微分方程; 解法定理; 一般解法一一. .简单规定简单规定本文所考虑的数都是实数, 所考虑的函数都是实函数,m、n、k 为自然数.在不改变多重 积分函数性质的情况下,作出如下简记:nndxxfdxdxdxxf)()(n重 n重
2、以下“”号均表示n重 2)() )()()()( )( )( )(nnnnnnnnndxxpdxdxdxxpxpxpnxxn ntxtxxxdxxfdtdtdttfn)()()(010100110020000)() )()()()( )( )( )(nnxxnnnnxxnxxnxxn dxxfdxdxdxxfxfxf二二.预备定理及推论预备定理及推论预备定理预备定理 1: 若函数与在区间上连续,且对任意,都有)(xf)(xgba,bax,则)()(xgxf11001100)()(1010010100 ntxtxxxntxtxxxdtdtdttgdtdtdttfnnbxxa0预备定理预备定理 2
3、: 若函数在区间上可积,则函数在上也可积,且)(xfba,)(xfba,11001100)()(1010010100 ntxtxxxntxtxxxdtdtdttfdtdtdttfnnbxxa0预备定理预备定理 3: 若函数与在区间上连续,且,则)(xf)(xgba,mxf)(0m110011000)()()(1010010100 ntxtxxxntxtxxxdtdtdttgmdtdtdttgtfnnbxxa02推论推论: 若,则 bxxa00！)()(0001)(xx nnxxxxn edxe 证明: 当,或时,不等式显然是成立的.现在考虑,的情形.0n0xx 0n0xx 当时, 1n)()(
4、)()(000000111/1)(xxxxx xxxxxxxe！eedxe 即 (2.1)()(0001)(xxxxxxedxe 当时,由预备定理 1 同理得2n(2.2)( 22)(20001)(xxxxxxedxe 一般地假设当时,有1 mn(2.3)( 11)(10001)(xx mmxxxxm edxe 由预备定理 1 同理得(2.4)()(0001)(xx mmxxxxm edxe 由开始考虑的情况及(2.1) 、(2.2) 、(2.3)、 (2.4),根据数学归纳法,得对一切 n 为自 然数都有)()(0001)(xx nnxxxxn edxe 证毕0,0！bxxa二二. .解法基
5、本定理解法基本定理定理定理 1: 若函数在区间上连续,且在上有连续的 n-)21)(n！ixpiba,)(0xyba,1 阶导数,那么函数项级数(3.1)nin mxxnii mndxyxpy)()()( 1 110 0 bxxa0(3.2)nin mxxnii mndxyxpy)()()( 1 1100 bxxa0分别在区间、上一致收敛.bx ,00,xa证明: 首先证明(3.1).由于在区间上连续,所以)21)(n！ixpiba,(3.3)(xpi0！), 2 , 1(ni又由于在上有连续的 n-1 阶导数, 所以)(0xyba,(3.4)()( 0xyin0！), 2 , 1(ni3假设
6、且,则！n1！1)(0xxe(3.5)()( 00)(xxinexy nininxxinnininxxinninxxniin dxyxpdxyxpdxyxpxy1)( 0 1)( 0)( 0 11)()()()()()()(000由预备定理 3 及(3.3),得 nixxninndxyxy1)( 01 0)()(由预备定理 2,得 nxxinnindxyxy)()(0)( 0 11由(3.5),得 nxxxxndxenxy)()()( 100由推论,得 (3.6)( 10)(xx nenxy 由于在上有连续的 n 阶导数,因而下面等式成立ninxxniindxyxpxy)()()()( 0 1
7、1 0 bx ,0 nininxxinnininxxinninxxniin dxyxpdxyxpdxyxpxy1)( 1 1)( 1)( 1 12)()()()()()()(000由预备定理 3 及(3.3),得 nixxiininixxninndxydxyxy1)( 1 1)( 12 00)()()(由预备定理 2,得 ixxinniidxyxy)()(0)( 1 12由(3.6),得 ixxnixxi ndxenxy)()()(12200 由推论,得 )(12201)(xxniinenxy 由于, 所以,0！11！ 111121！nn因而 (3.7)( 12220)(xx nenxy 一般
8、地假设在上有连续的 n 阶导数,且nin mxxniin mdxyxpxy)()()()( 2 11 0 ba,4(3.8)( 2110)()(xx mnmmenxy 那么同理可得 (3.9)( 10)()(xx mnmmenxy 由(3.6)、(3.7)、(3.8)、(3.9)，根据数学归纳法,得对一切 m 为自然数都有)0(m！显然函数项级数)( 10)()(xx mnmmenxy 为正项级数。1 1)()()( 1 1)()()(0000 mmmxx nxxxx mnmmxxneeene 由于, 所以上式又为正项收敛级数。由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判1,！n！n别法,可知函
9、数项级数 ()在上一nin mxxnii mndxyxpy)()()( 1 110 0 bxxa0bx ,0致收敛,当时,在上一致收敛。对于函数项级数ax 0ba,()nin mxxnii mndxyxpy)()()( 1 1100 bxxa0只要在上述证明中,把和互换,并考虑到,就可以逐字逐句地重复上述证明,同x0x0xx 样可得级数(3.2)在上一致收敛,当时,在上一致收敛。因而定理 1 得0,xaax 0ba,证。定理定理 2: 若函数在区间上连续, 、)21)(n！ixpiba,)(10xy)(20xy在上线性无关,且在上都有连续的 n-1 阶导数,那么下列函数)(0xynba,ba,
10、nin mxxnii mndxyxpxyxY)()()()()( )1(1 11101 0 nin mxxnii mndxyxpxyxY)()()()()( )1(2 11202 0 nin mnxxnii mn nndxyxpxyxY)()()()()( )1( 110 0 在上线性无关,当时,在上线性无关。bx ,0ax 0ba,5证明: 由于、在上线性无关, 所以)(10xy)(20xy)(0xynba,0)()()()()()()()()()()1( 0)1( 20)1( 1002010020100xyxyxyxyxyxyxyxyxyxWn nnnnn0)()()()()()()()(
11、)()(0)1( 00)1( 200)1( 10000200100002001000xyxyxyxyxyxyxyxyxyxWn nnnnn又由于)()()()()(0)( 100)( )1(1 110)( 100)( 1 0xyxxdxyxpxyxYjjnin mxxniijnmjj 1, 2 , 1 , 0nj)()()()()(0)( 200)( )1(2 110)( 200)( 2 0xyxxdxyxpxyxYjjnin mxxniijnmjj 1, 2 , 1 , 0nj)()()()()(0)( 00)( )1( 110)( 00)(0xyxxdxyxpxyxYj njnin mnx
12、xniijnmj nj n 1, 2 , 1 , 0nj所以0)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(000)1( 00)1( 200)1( 1000020010000200100)1( 00)1( 200)1( 1000020010000200100xWxyxyxyxyxyxyxyxyxyxYxYxYxYxYxYxYxYxYxWn nnnnnn nnnnn因而、在上线性无关。原定理得证。)(1xY)(2xY)(xYnba,四四. 一般解法一般解法对一般的 n 阶线性微分方程(4.1)()()()(1)(xfyxpxyinniin6其中及在上连续。)21)(n！ixpi)(xfba,先考虑对应的 n 阶齐次线性情形。(4.2)(1)()()(inniinyxpxy把(4.2)写成积分形式 ninniixandxyxpxy)()()()(1并由此建立起积分项迭代格式 (4.3)nin mniixan mdxyxpxy)()()()( 1 1 考虑一个级数 (4.4)0mmyy这级数的项有这样的性质: 它除第一项外,其余每一项都由前一项代入(4.3)得出,即00yy ninniixandxyxpxy)()()()( 0 11ninniixandxyxpxy)()
