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1、重视算法化思想在数学教学中的渗透摘 要：数学发展的历史告诉我们，一些数学分支的重要进步都标志着有重要算法的形成。正是人们的解决问题，追求算法，才推动数学的发展，产生了许多优美的精致算法。 关键词：算法； 独特作用； 思辨性； 机械性； 多样化； 最优化 从数学演变的历史来看，数学总是由思辩的算法向机械的算法过渡，再形成高一级的机械算法和更高一级的机械算法过渡。数学上的每一次过渡，都提高了算法的威力，追求算法由思辨向机械前进，是数学发展的动力。 从各个方面都说明学生个体存在差异。需要不同水平的算法、多样的算法。转述的两则资料对我们的数学教学是很有借鉴意义的。 算法是人类社会由工业化进入信息化时代
2、的产物，是计算机科学的理论基础，更是数学科学发展的重要标志。从历史上最早的手摇计算机到现今多种用途的个人计算机，再发展到强有力的并行处理机，计算机为数学的发展开辟了一个崭新的时代，并行化算法，随机化算法使得理论计算机科学取得了重大进步，而设计和分析计算机算法的效率在很大程度上是教学的任务。正是算法构成了计算机的数学理论的核心。现在，颁布的高中教学课程标准中已加入了算法等一些新内容的学习。 “要求普遍使用科学型计算器，以及各种数学教育平台，加强数学与信息技术的整合。在内容上突出“算法”在整个数学发展中的独特作用，成为理解数学发展的重要线索，力求把算法融入到数学课程的各相关部分。 ”因此，算法不仅
3、是计算机科学、计算数学的拱心石，也是数学和数学教育的核心观念。那么，数学教学如何渗透算法化思想？算法化思想是什么？这就是本文要探讨的问题。 一、 重视算法有数学发展的独特作用 数学发展的历史告诉我们，一些数学分支的重要进步都标志着有重要算法的形成。如从欧几里得的平面几何学到卡尔的解析几何学，产生了综合法和解析法。从阿基米德计算曲边图形面积和体积的平衡法到牛顿?莱布尼兹的微积分，从算术到代数，从方程的求根公式到群论，每一步发展都产生了新的重要算法，可以说，数学的历史就是算法形成与发展的历史。只有认清了算法在数学发展中的独特作用，我们才能结合中学教材的具体内容涌透算法化思想。如对数学方法的形成，从
4、高斯求和到等差数列的求和公式。从印度象棋发明者达依尔的故事到等比数列的求和公式，从二次方程的多种解法到求根公式，无处不涌透着算法。正是人们为了解决问题、追求算法，才推动了数学的发展，产生了许多优美的精致的算法。 二、 重视算法的思辩性与机械性 算法是中国古代数学的优良传统。王鸿、孙宏安教授在数学思想方法引论中把中国古代数学思想的特点概括为：“实用思想，神秘思想，算法化思想，辩证思想，正统思想” 。由此可见，算法化是中国古代数学发展的一大特点，而算法化的本质是机械化，所以著名数学家吴文俊说：“中国古代数学基本上是一种机械化的数学” 。它在机械证明中创立的吴方法，还有中科院院士张景中对平面几何加以
5、改造，用面积法替代欧氏几何的传统方法在机械证明中创立的消点法，都是在追求算法的机械性，但从数学演变的历史来看，数学总是由思辩的算法向机械的算法过渡，再形成高一级的机械算法和向更高一级的机械的算法过渡。中国古老的鸡兔同笼问题它的算术解法是思辩的，拘泥于一招一式，不能解决普遍性问题，而代数解决法则是机械的、模式化有普遍性，能解决一大类问题。阿基米德计算曲边图形面积和体积的方法是思辩的，而牛顿莱布尼兹的微积分就是机械的，所以数学上每次过渡，都提高了算法的威力，追求算法由思辩向机械前进，是数学发展的动力，正如著名数学家徐利治与郑毓信先生在算法化原则与数学教育一文中提出的算法化原则：“在数学的研究中，应
6、当努力创造各种适用于解决各类问题的有效算法。 ”现今高中数学教材加进向量法，用向量法处理立体几何问题，因为向量法比综合法优越。综合是思辩的，需要一定的机智与灵巧，而向量法是机械的算法，它有确定的步骤与等程序可以遵循，从而能为大多数学生所掌握。数学家吴文俊在数学教育现代化中认为四则难题让人们于代数，欧氏几何让位于解析几何，这是数学教育现代化的表现，其实质就是思辩的算法让人们于机械的算法，让学生掌握更先进更有效的方法，而不应停滞不前。 三、 重视算法的多样与最优化 北师大朱文芳教授在对数学教学中提倡“算法多样化”的几点认识一文中认为无论从建构主义的学习观还是从学生在感知信息差异上，在对认识任务的反
7、映速度上、思维的广阔性上，学生的左右脑优势等方面都说明学生个体存在差异。需要不同水平的算法、多样化的算法，下面转述的两则资料，对我们的数学教学是很有借鉴意义的。 资料 1：沈钢在中英学生解题策略之差异一文中用英国伦敦大学查尔西学院主持的测试英国中学对数学和理解科学概念认识的一项研究中一道试题测试了我国浙江省 30 所普通中学的学生，发现中英两国学生解决同一问题存在算法上的差异。 原题为：给 8 个人食用的洋葱汤菜谱为：8 个洋葱、1 千克水、2 匙黄油、1/2 千克奶油。 （1） 要为 4 个人做洋葱汤（a）需要多少水？（b）需要多少鸡块；（2） 要为 6 个人做洋葱汤（a）需要多少水？（b）
8、需要多少鸡块；调查结果表明：中国大多数学生在解决此问题时采用形式化的规范算法，即先求出 1 个人的情形，然后用乘法或采用比例公式 a/b=c/x等方法。英国学生普遍采用“对半分法来构造答案， ”这种算法，即先将 8 个人食用的各成份乘以 1/2 后，就得到 4 个人所需要的然后再将这4 个人乘以 1/2 就得到 2 个人所需要的，最后将这两个数相加就得到 6 个人所需要的。英国许多学生并不用学校所教的规范化算法，而是采用依赖于幼稚的直觉的这种建立在感觉和常识基础上的算法，这与英国学校鼓励学生使用任何对学生来说最适合的算法有关。 资料 2：郑毓信先生在数学教育：从理论到实践一书中转引了美国纽约时
9、报2000 年 4 月 12 日的个教学实例，要学生针对这样一个传统问题：“每箱桔汁都装 24 罐，为了使 250 个学生人手罐，共需多少箱？”结果学生有许多创造性的算法： 算法 1：用加法对24 连续相加直至达到 250，求得解答。 算法 2：用减法从 250 连续减去 24 直至最终达到 0。 算法 3：用乘法努力去发现 24 与何者相乘得到 250。 算法 4：100 包括 4 个 25，由于 250 个学生是两个 100 再加上半个，因此，如果每箱汁都装有 25 个罐的话，相应的结果就是 4 箱加 4 箱再加2 箱（总共 10 箱） ，但现在每箱只有 24 罐，也即每箱少 1 个罐从而
10、就必须在第 11 箱中补取 10 罐。 算法 5：用“实验”的方法，在纸上画一个长方形，并用垂直的平行线将它分成 24 个部分，这时画一条水平直线就将生成 24 个小的正方形，而又只需通过连续作出这样的水平线直到得到 250 个小正方形就可获得相应的解答。 这些算法与中国学校采用的形式化算法 25024=？相比，我们或许有所启发，中国学生解题时拘泥于程序化、形式化、一般化的规范算法，其原因是升学考试，题海战术的结果。因为学校教的规范化算法比非规范化算法更适合用升学考试，但这实际上束缚了学生的创造性思维，养成了思维惰性，造成了僵化的思维方式，难怪著名物理学家诺贝尔获得者李政道教授说：“中国学生现
11、在只会做学答，不会问问题。 ”这都与我们数学教学追求算法的机械化、形式化、规范化有关。 二十一世纪是创新人才的时代，培养创新人才是教学教育追求的目标，而创造性人才要有灵活的头脑，这就要在解决问题时提倡多样化的算法，1989 年美国全国数学教师联合会出版了一份学校数学课程与评估标准中针对一个问题：“一家容器制造公司，要设计和制造一种装果汁的圆柱形罐头，容积是 0.946 升，为了使成本最少，公司希望设计一种用料最省的罐头” 。学生可以通过收采数据列图表，可以编程序上机，也可以利用计算机（或计算器）的绘图功能画函数图象解决，还可以变更容积，寻找最省时高与半径的关系，最后才给出利用均值不等式数学方法解决。这就说明数学问题的解决可以有收集数据、图表、计算机、实验找规律，猜测归纳等这些多样化的算法，而不应一味只追求机械的、规范的、形式的、最优的算法，而舍弃思辩的、非规范的非形式的平凡算法，因为后者恰是培养学生创造性思维的重要途径。现在，随着信息技术的普及，计数器和计算机已进入中学数学，所以我们应更加注重算法，估算和近似计算，坚持算法的多样化与最优化。 参考文献 1 沈钢.中英学生解题策略之差异.数学教育学报.1997（2） 2 郑毓信.数学教育：从理论到实践.上海教育出版社 3 丁尔生、唐复苏.中学数学课程报导论.上海教育出版社
