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1、周世国：曲线曲面积分部分难题解答 1曲线、曲面积分部分难题解答1 （P201,第 1 题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）：（）， 为抛物线上从原点到点的弧；lxydslxy22)0 , 0(O)2 , 2(A OA（）， 为联结点、和的三角形围线； ldsyx22l)0 , 0(O)0 , 2(A) 1 , 0(B（）， 为圆周； lsdyx22l022aaxyx（）， 为螺线的 一段弧 ldszyx222l0,sin,cosbbtztaytax；20 t（）， 为曲线上从点到的一段弧.lzdsl0,2222aaxyzyx)0 , 0 , 0(O)2,(aaaA解：（）， 2 ,
2、 0 ,21 :2 y yyyxl.1122 dyydydydxds 所以（令）dyyyyxyds l22201.21tytantdtt332arctan0sec.tan21ttdtsecsec.tan21222arctan0ttdtsecsec.1sec21222arctan0 31 51531551 21sec31sec51 21352arctan035|tt.151 355 15255315521 （）解： ldsyx22 OAABOB;3801.02022202222dxxdxxdsyx OA，其中：. 20 , 0: xxxyOAdyyydsyx AB210222221.22. 53
3、54855102dyyy周世国：曲线曲面积分部分难题解答 2其中：. 10 ,22,: yyxyyAB， .3101.02022102222dyydyydsyx BO其中：. 10 , 0: yyyxBO所以. 3535OAABOBI（）解法一：.20 ,sin2,cos22: t taytaax l.2cos2sin222 22dtadttatadttytxds 所以，dtatatasdyx l2sin4cos142022 22 22 dtta202 cos124dtta20222sin2 . 24dtta2022sin2.22cos22sin2202202|atatdta 解法二：化 为极
4、坐标表示：l .2,2,cos: arl则 .22,sin.cossin,coscos:2 aryarxl .sincos2222addtaadtrrds所以，adaasdyx l2222222sincoscosdaa 2222cos.2sin2cos222 022 02|aada 周世国：曲线曲面积分部分难题解答 3（） dtbadtbtatadttztytxds22222222cossin dtbabttatadszyx l2220222222.sincos|2032 2222022222 3 tbtabadttbaba.433222222baba2 （P201,第 2 题）设有某种物质分
5、布在椭圆上，其密度1:2222 by axl求它的总质量.,yyx解：不妨假设. ba ，其中14 llydsdsyM.2, 0,sin,cos;1 ttbytaxl.cossincossin22222222dttbtadttbtadttytxds所以dttbtatbydsM l22222 0cossinsin441dttbaatb22222 0cossin4tdtbaabcoscos42 02222duubaab2222014duubaab2222104（公式）duubaabab2 02 222 224|102 22222222222 2arcsin.2.4ubaaubaaubaabab周世
6、国：曲线曲面积分部分难题解答 4 21 arcsin.2.422222222 22baaaba baabab.arcsin.222222 bababaab3 （P202,第 3 题）设曲线 的长度为，而函数在包含 的某个区域内连续.lLfl证明： .max.PfLdsPf lPl证明：由第一型曲线积分的定义 iniidlsPfdsPf .lim10故 iniidlsPfdsPf .lim10 iniidsPf .lim10 iniidsPf .lim10 inilpdsPf .maxlim10 .max.PfL lP4 （P202,第 4 题）从原点到点沿下列不同路径分别计算第二型曲0 , 0
7、O 2 , 1A线积分. OAydxxdy（1）.为直线段； OA（2）.为抛物线上的弧； OA22xy （3）.为从点经点到点的折线. OA0 , 0O 0 , 1B 2 , 1A OBA解：（1） . 10:,2:xxxxyOA 周世国：曲线曲面积分部分难题解答 5. 022 .10dxxxydxxdy OA（2）. 10:,2:2 xxxxyOA .32 3224 .|103102xdxxxxydxxdy OA（3）. 220 OBBAOAydxxdy其中，. 10:,., 0:xxxyOB ; 000 .10dxxydxxdy OB其中，. 20:,., 1:yyyxBA . 20 .
8、120dyyydxxdy BA 5 （P202,第 5 题）计算曲线积分. lxdyydx（1）. 为从点点的上半圆周；l0 , a0 , a022axay（2）. 为从点点的直线段；l0 , a0 , a0a（3）. 为逆时针方向的圆周l.222ayx解：（1） .0:,sin,cos:ttaytaxl dttatatataxdyydx l0cos.cossin.sin.dtta022cos02sin2|02 ta（2）.:, 0:aaxxxyl . 00 .0dxxxdyydxaal（3）.20:,sin,cos:ttaytaxl 周世国：曲线曲面积分部分难题解答 6 dttatatata
9、xdyydx l20cos.cossin.sin.dtta2022cos02sin2|202 ta6 （P202,第 6 题）计算沿逆时针方向的圆周的曲线积分222ayx.22lyxdyyxdxyx解：，所以，20:,.sin,cos:ttaytaxl lyxdyyxdxyx22 dtatatatatatata202cos.sincossinsincos.22022 dtaa7 （P202,第 7 题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向：（）， 为抛物线；dyxyydxxyx l2222l112xxy（）， 为折线；dyyxdxyx l2222l2011xxy（）， 的参数方程为；dz
10、xyzdydxzy l2222l.10,3, 2 ttztytx解：（）. 11:,:2 xxyxxldyxyydxxyx l2222 dxxxxxxxx1124222 .2.2.1514 54 324|10531142 xxdxxx（）设点则 .0 , 1AdyyxdxyxL2222dyyxdxyxOA2222周世国：曲线曲面积分部分难题解答 7dyyxdxyxAB2222其中. 10:,:xxxxyOA 故 ; dxxxxxdyyxdxyxOA1022222222.32 322|103102xdxx其中. 21:,2:xxxxyAB 故 dxxxxxdyyxdxyxAB21222222221.22.32 32222|213212xdxx所以原式.34 32 32（）dzxyzdydxzy l2222dtttttttt102232643 .2 . 2.351 52 7323|10571046 ttdttt8 （P202,第 8 题）设曲线 的长度为，而函数在包含 的某个区域内连lL Pfl续.证明： .max.PfLrdPf lPl证明：设 .,21PfPfPf由第二型曲线积分的定义及柯西不等式 niiiiidlyPfxPfrdPf1210.lim.故周世国：曲线曲面积分部分难题解答 8
