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1、第七章：粒子在电磁场中的运动 1证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： zyxcqivvB,2（1） xzycqivvB,2（2） yxzcqivvB,2（3） 证明根据正则方程组： xxpHxv ，qAcqpH221 xxxAcqpv1同理 yyyAcqpv1zyxpppp,是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： yyxxyxAcqpAcqpvv,1,2=yxyxyxyxAAcqpAcqApcqpp,122222（4） 正则动量与梯度算符相对应，即ip，因此 0,yxpp 又A 仅与点的座标有关 0,yxAA zxyxyyxBciq yA xA
2、icqxiAcqAxicqvv2222, （因AB） 其余二式依轮换对称写出。 2利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为 Z 轴方向） （解）设磁场沿 Z 轴方向，BBBBzyx00 矢势A 的一种可能情形是 022zyxAxBAyBA 在本题的情形，哈密顿算符是： （前题） )2(2) 1 (2221222222zyxzyxvvvpxcqBpycqBpH 速度算符间的对易式是： )5(0,)4(0,)3(,2xzzyyxvvvvBciqvv根据（54） ，zv分别和xv，yv对易，因此zv与22 yxvv对易，而： 22 12yxvvH与2 22xvH 有共同的本
3、征函数，H的本征值是21,HH本征值之和。 22 12yxvvH)6(222212221222 22222yxcqBxpypcqBpppxcqBpycqBpyxyxzyx 但cqB 2，这和有心力势场一样2 1,llHx是完全集合， （6）式是一个平面谐振子（二维） 的能量算符和一个角动量分量算符之和， 按7.2 和前一章的第 （15） 题， （6） 式中的H本征值是, 3 , 2 , 1 , 01212kkmpmEk（7） 又xpH2 221 这个能量算符的本征值是可以连续取值的，它和沿 z 轴作自由运动的粒子的动能算符一样，因而有： xpkE2 2112 但xp取,间任何值，E 是连续谱。
4、 （3）证明在规范变换下 （1） Acqppj 21（2） Acqpv （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P243。17 式） ciqf e （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后儿率密度： ciqf ciqf ciqf ciqf eeee又设变换后儿率流密度是j，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 trfAA, ciqf ciqf ciqf ciqf ciqf ciqf eetrfAcqeeepej ,21（5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：)()(,rfirfp （6） 令ciqf erf
5、)(则有： ciqf ciqf ciqf ciqf efcqeipeep fcqpeepciqf ciqf（7） fcqpeepciqf ciqf(8) 将（7）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项， （5）式成为： jAcqppfAcqfcqpeefcqpeejciqf ciqf ciqf ciqf 2121（9） 在证明第 3 式时， 设变换后的v 是v。 写出右方平均值的显式， 用 （4） 的波数变换， 和) 4( 的矢势的变换式： defAecqdepedefAcqpedAcqpAcqpvciqf ciqfciqf ciqfciqf ciqf 前式第一个积分可重复用（7）式，得： v
6、dAcqpdfAcqdfcqpeevciqf ciqf命题得证 4若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。 （解）设粒子的柱座标是z,，取矢势的柱座标的分量度为 0A 0A 21zBpA 柱座标的梯度算符证明为以下形式 zeeezp 1（1） 式中的pe e ze是一点上沿等势面作出的单位矢量，但和直角坐标的单位矢量k j i 不同，pe，e方向随着点变化，而且它们对的导数也 不是零，能证明： eeddp，peedd参看附图计算哈氏算符： （要计及单位矢导数） （少图）22 21222 2122212 21)()1()1()(222222222ceB cqBizuzicqB iiz
7、icqB iiucq ueeeeeezzzApH (2) 观察（2）知道 ,Hp z=0， ,H zl=0 ,但 p z=zi，l z=i，因此p z,H，l z有共同本征函数，取（p z,H，l z）完全集合表示态，而波函数),(z可含有l z，p z的本征函数作为其因式 ),(z=)()(Rekzmi（3） 但 m=0,2, 1 k=任何值。 将（3）代入H的本征方程式： EceB cqBi ddzu22 21222 21)(22222222(4) 在消去与和 z 有关系的公因式后得 0)()(2222222 2221Rm cqBE cmBq ddR dRd （5） 令 cqB 2 5 作
8、自变量变换2，则有： ddR ddR ddR dd ddR22 ddR dRd ddR dd dd dRd24)2(2222 代入（5）得 044222 Rm ddR dRd （6） 式中 qbEcm qBcEm 22224222（7） 其次求（6）的关于奇点上的近似解 0时， （6）成为：04222 Rm ddR dRd 渐近解2mR 时， （6）成为：0422 RdRd 渐近解2R，所以方程式（6）的特解可假设为： )()(22 FeRm （8） 将（8）代入（6）后得关于)(F的微分方程： 0)21()1 (22 FmddFmdFd（9） 这属于合流超几级数，后者的一般形式是： 0)(
9、22 FddF dFd （10） 后者的解是合流超几级数；它表示为： !) 1() 1() 1() 1();,(0 nnnFnm （11） 由于对比系数知道（9）的解是 );1 ,21()(mmFF （12） 但从收敛的性质说，合流超几何级数的邻项比是（取极限）n，这和已知函数e邻项比极限相同。 e不适宜作为波函数，因此，若取（12）作为满足标准条件的解，级数需要中断，若（12）作为多项式最高幂 n，则1n项的系数为零， 要求 +n=0 即 021nm （13） 从（7）知道，这条件是： nm rEm r2122422解出 E，得到 2212221422222mmncBqnmm rrE （14
10、） 此式第一项与有关是沿纵方向（z 轴）运动的能量，无磁场亦存在后项是磁场引起的。 # 5设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B 中运动， 求其能谱及波函数 （取磁场方向为 z 轴，电场方向为 x 轴方向） 解 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使 0xA xyBA 0zA 设电场E 的大小是,选择标势)(rV，使场沿着 x 轴 qdxdV， qxV 哈密顿算符是： qxpxBcqxpcqBppqxpBxcqppHzyyxzyx221)(21222 22222（1） H中不出现 y 和 z，因此 0,ypH 0,zpH 可以依照本章中7。 2 均匀磁场中带电粒子的运动的解法， 先求能量本征函数， 由于yp，zp守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子： )(),()( xXezyxzzpyypi （2） 代入能量本征方程式： 222 22222222)(22 ExcqBxpqxycqBi zyx整理，并约去同因式)(zzpyypi e 后，得到 X（x）的本征方程 )()()(221 2222 222222 xEXxXppxqeqBpxcBq xzyy)()()(21 2)()(2222222 2 222 xEXxXBcpppqBc qBcpxcqB xyzyy （3） 或者简写作 )()()(2202 02 222 xEXxXExxx
