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1、1函数专题复习函数专题复习知识要点：知识要点：1 1，函数的定义，函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个 数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y=f(x)，xA。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域（range）。 注意：“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；1函数符号“y=f(x)”中的 f
2、(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x2例，判断下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1；（2）f ( x ) = x； g ( x ) = 2x（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ；（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x2 2，构成函数的三要素，构成函数的三要素 定义域、对应关系和值域 3 3，区间的概念，区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； 4 4，映射的定义，映射的定义 一般地，设
3、 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射，记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其 中 f 表示具体的对应法则；（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个， 也就是说有且只有一个的意思。例题：下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？（1）A=P | P 是数轴上的点，B=R，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A= P |
4、 P 是平面直角体系中的点，B=（x，y）| xR，yR，对应关系 f： 平面直角体系中的点与它的坐标对应； （3）A=三角形，B=x | x 是圆，对应关系 f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A=x | x 是新华中学的班级，B=x | x 是新华中学的学生，对应关系 f：每一个 班级都对应班里的学生。 注注：函数是一种特殊的映射！即非空数集间的映射。 5 5，函数的表示方法，函数的表示方法 （1）解析法：必须注明函数的定义域； （2）图象法：是否连线； （3）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。26 6，函数定义域的求法，函数定义域的求法 法则：A，分式的分母不能
5、为 0；B，偶次方根根号下不能为负；C，对数的真数部分必须大于 0，如果对数函数的底数中也含有自变量，则底数大于 0 且不等于 1；D，指数函数的底数大于 0 且不等于 1；E，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数，他们本身对定义域的限制；F，由有限函数的四则运算得到的函数的，其定义域为这有限个函数的定义域的交 集；G，由实际问题建立的函数，其定义域受具体条件限制。例 1，解不等式21log111x7 7，函数值域的求法，函数值域的求法 （1）配方法例，求的值域。 212223xxf x（2）换元法 例，同上例（3）判别式法例，求函数的值域。21 1xyx（4）利用均值不等式例，求函数的值域
6、1xyx（5）反函数法例 1，求函数的值域221 1xyx3例 2，求函数的值域222xy 8 8，函数表达式的求法，函数表达式的求法（1）待定系数法）待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例例 设是一次函数，且，求)(xf34)(xxff)(xf（2）配凑法）配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式 ( )f g x( )f x ( )f g x容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合( )g x( )f x函数的定义域，而是的值域。 ( )g x例例 已知 ，求 的解析式221)1(xxxxf)0( x( )f x（3）换元法：）换元法
7、：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。 ( )f g x( )f x与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例例 已知，求xxxf2) 1()1( xf4（4）代入法）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例例 已知：函数的图象关于点对称，求的解析式)(2xgyxxy与)3 , 2()(xg（5）构造方程组法）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例例 设求,)1(2)()(xxfxfxf满足)(xf例例 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析)(xf)(xg,11)()(xxgxf
8、)()(xgxf和式（6）赋值法）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例例 已知：，对于任意实数 x、y，等式恒成立，1)0(f) 12()()(yxyxfyxf求。)(xf5（7）递推法）递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例例 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有)(xfN1) 1 (fba,，求abbafbfaf)()()()(xf典型例题：典型例题：1，已知函数的定义域是，求函数的定义域。 yf x0,1
9、g xf xaf xa2，已知函数的值域是，求此函数的定义域。21 1xyx03y yy y3，函数的定义域是_。 216y xx 4，已知且，若关于的方程有实根，0a 1a xlog3log (2)log11aaaxxx求的取值范围。a65，对于定义域为实数集 R 的函数，回答下面问题。 24 1xaf xax为常数（1）若，则_； 112fa （2）若函数的值域为，求？41yy a 6，已知，求。3143fxx f x7，已知为一次函数且，求。 f x 43ff xx f x9，已知，求。22111xxxffxxx f x10，表示与二者中的较大者，求的表达式。 f x1x21x f x7
10、11，求函数的值域。23134yxx 12，设，求函数的最大值。25001xyxx13，表示与二者中的较大者，求的表达式。 f x1x21x f x14，若函数的定义域为 R，求实数 m 的取值范围。 24 43xf xmxmx8函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性知识要点知识要点1 1，增函数，增函数 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义。 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间
11、上的性质，是函数的局部性质；1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) 2。 2,2, 函数的单调性定义函数的单调性定义如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间： 3 3，判断函数单调性的方法步骤，判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；1作差 f(x1)f(x2)；2变形（通常是因式分解和配方）；3定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；
12、4下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）54 4，单调性的运算法则，单调性的运算法则A，设 C 为常数，A 是函数的一个单调区间，则 f x当时，与在 A 上单调性相同；0C Cf x f x当时，与在 A 上单调性相反。0C Cf x f xB，A 是函数的一个单调区间，且在 A 上，则与的单调性相 f x 0f x 1 f x f x反。C，若与在区间 A 上恒为正且均为递增函数则在 A 上也单调递增 f x g x f x g xgD，复合函数的单调性：设且当时则复合函数的单调性 ,yf uuxxAuB的单调性表示为：若单调性相同，则为 yfx ,yf uux yfx
13、单调增函数，否则为减函数。 5 5，偶函数，偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶 函数9仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 注意：a， 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体 性质；b，由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的 任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。c，若既是奇函数又是偶函数，则，反过来，不一定成立。如 f x 0f x 就不是。 012f xx 6 6，具有奇偶性的函数的图象的特征，具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数
14、的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 典型例题典型例题1，讨论函数在区间的单调性。 21axf xx1,12，（天津高考）设函数，则求不等式的解集。 246,0 6,0xxxf xxx 1f xf3，若不等式对一切成立，求的最小值。210xax 0,1xa104，已知的定义域为 R，且对任意的都有，且时， f x, x y( ) ( )f xyf x f y0x 。求证：函数在 R 上单调递增。 1f x yf x5，已知分段函数，判断它的奇偶性。 22,1 ,11 ,1xx f xxx xx 6，若函数为奇函数，求的值。 21xf xxxaa117，定义在 R 上的偶函数满足：对任意的，有 f x1212,0x xxx ，则当，比较的大小。 21210xxf xf xnN,1 ,1fnf nf n8，已知是定义在 R 上的偶函数，且在区间上是单调递增函数，若 f x,0，求实数的取值范围。2221321faafaaa9，已知,讨论函数的性质，并作出图像。 22 1xf xxRx f x
