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1、1函数复函数复习习主要知主要知识识点点一、函数的概念与表示1、映射与函数 （1）映射：设，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应，则这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f：AB。 （2）函数是特殊的映射：f：AB（A、B 是两个 集） 注意点：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射， 是映射 2、函数: （1）函数记法及理解; : （2）构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 （3）函数的三
2、种表示法： （4）几种常见函数的三要素 （1）一次函数 、 （2）二次函数 （3）反比例函数 （4）指数函数 （5）对数函数 （6）三角函数 sinyxcosyxy=tanx（7）幂函数 特例 ，xxy21热练：热练： 1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 xxgxxflg2)(,lg)(2) 1lg() 1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、 D、f（x）=x，vvvguuuf11)(,11)(2)(xxf2、给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系30|,20|yyNxxM 的有 （ ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx12111
3、22211112222yyyy 3OOOO3 函数 y=定义域是（ ）1-lg x+2A、 B C D0 8 ，-2 8 ，2 8 ，8 +，其它函数如双钩函数，分段函数，复合函数，抽象函数等也涉及 二、函数的解析式与定义域2（1）求 函 数 解 析 式 的 几 种形式 例例 1 设是一次函数，且，求)(xf34)(xxff)(xf待定系数法：待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例例 2 已知 ，求 的解析式221)1(xxxxf)0( x( )f x配凑法配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形 ( )f g x( )f x ( )f g x( )
4、g x式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。( )f x( )g x例例 3 已知，求及的解析式xxxf2) 1( )f x)1( xf换元法换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所 ( )f g x( )f x换元的定义域的变化。例例 4 已知：函数的图象关于点对称，求的解析式)(2xgyxxy与)3 , 2()(xg解解：设为上任一点，且为关于点的对称点),(yxM)(xgy ),(yxM),(yxM)3 , 2(则，解得： ， 3222 yyxx yyxx 64点在上 Q),(yxM)(xgy xxy23把代
5、入得： yyxx 64)4()4(62xxy整理得 672xxy67)(2xxxg代入法：代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例例 5 设求,)1(2)()(xxfxfxf满足)(xf例例 6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式)(xf)(xg,11)()(xxgxf)()(xgxf和构造方程组法：构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求 得函数解析式。例例 7 已知：，对于任意实数 x、y，等式恒成立，求1)0(f) 12()()(yxyxfyxf)(xf解解对于任意实数 x、y，等式恒成立，Q) 12(
6、)()(yxyxfyxf不妨令，则有 0x 1) 1(1) 1()0()(2yyyyyyfyf再令 得函数解析式为：赋值法：赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，xy 1)(2xxxf往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。七、递推法：七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代 等运算求得函数解析式。例例 8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有)(xfN1) 1 (fba,，求abbafbfaf)()()()(xf解解 ，QNbaabbafbfaf,)()()(，不妨令，得：，
7、1,bxaxxffxf) 1() 1 ()(又 1)() 1(, 1) 1 (xxfxff故分别令式中的 得：1,21xnL4(2)(1)2, (3)(2)3,( )(1),ff fff nf nn L L将上述各式相加得：， nfnfL32) 1 ()(2) 1(321)(nnnnfLNxxxxf,21 21)(21、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6.（05 江苏卷）函数的定义域为2 0.5log(43 )yxx30,42 求函
8、数定义域的两个难点问题（1）( )x已知f的定义域是 -2, 5 , 求f (2x+3)的定义域。5,12（2） (21)xx已知f的定义域是 -1, 3 , 求f ( )的定义域3,5例 2 设，则的定义域为_2( )lg2xf xx2( )( )2xffx变式练习：，求的定义域。24)2(xxf)( xf变式4, 11,4U0,16三、函数的值域三、函数的值域 1 求函数值域的方法 直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； 换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y
9、 的取值范围；适合分母为二次且R 的分式；x5分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ； 单调性法：利用函数的单调性求值域； 图象法：二次函数必画草图求其值域； 利用对号函数 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1 （直接法）21 23yxx2 2( )2242f xxx3 （换元法）12 xxy4. （ 法） 432xxy5. 11y22 xx6. (分离常数法) 1xxy31( 24)21xyxx 7. (单调性)3( 1,3)2yxxx 8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)1 11yxx 11yxx 9(图象法)232( 12)yxxx
10、10(对勾函数) 82(4)yxxx611. (几何意义)21yxx一、选择题一、选择题1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ），；3)5)(3(1xxxy52 xy，；111xxy) 1)(1(2xxy，；xxf)(2)(xxg，；343( )f xxx3( )1F xx x，。2 1)52()(xxf52)(2xxfA、 B、 C D、2函数函数的图象与直线的图象与直线的公共点数目是（的公共点数目是（ ）( )yf x1x A B C或或 D 或或1001123已知集合已知集合，且，且421,2,3,4,7,3AkBaaa*,aNxA yB使使
11、中元素中元素和和中的元素中的元素对应，则对应，则的值分别为（的值分别为（ ）B31yxAx, a kA B C D2,33,43,52,54已知已知，若，若，则，则的值是（的值是（ ）22(1)( )( 12)2 (2)xxf xxxx x ( )3f x xA B 或或 C ，或或 D113 213 2335已知函数已知函数定义域是定义域是，则，则的定义域是（的定义域是（ ）yf x() 123，yfx()21A B. 05 2，14，C. D. 55，37，6函数函数的值域是（的值域是（ ）224yxxA B 2,21,2C D0,22,27已知已知，则，则的解析式为（的解析式为（ ）2211()11xxfxx( )f x7A B 21xx 212 xx C D212 xx 21xx 8若集合若集合，|32,Sy yxxR2|1,Ty yxxR则则是是( ( ) )STIA B. . ST C. . D. .有限集有限集9 9函数函数的图象是的图象是（ ）xxxy10若函数若函数的定义域为的定义域为,值域为值域为，则，则的取值范围是（的取值范围是（ ）234yxx0,m2544，mA B 4 , 032，4C D332，32，）11若函数若函数，则对任意实数，则对任意实数，下列不等式总成立的是（，下列不等式总成立的是（ ）2( )f xx12,
