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1、几何计算型综合问题解答策略几何计算型综合问题解答策略【知识点透视】几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思
2、维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键解几何综合题，还应注意以下几点： 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形 掌握常规的证题方法和思路 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等） 【典型例题】例 1.边长为
3、 2 的菱形 ABCD 中，B=45，AE 为 BC 边上的高，将ABE 沿 AE 所在直线翻折得ABE，那么ABE 与四边形 AECD 重叠部分的面积是 .分析：解答本题首先要根据题意，画出图形（如图 1）然后根据对称性和相关几何知识进行求解解：在 RtABE 中，B=45，AB=2，图 1DABC QP图 2AE=BE= ，SABE=12由翻折知：ABEABE，EB=EB=2BC=BBBC=22，2四边形 ABCD 是菱形，CFBA BFC=BAB=90, BCF=B=45CF= SBFC=32 2222BC2 21CF2S 阴=SABESCFB=2 22说明：图形折叠问题的本质是全等变换
4、, 也是近年中考题中的一个亮点这类问题的解决方法是要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键.常用代数方程求解例 2如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间（0t6） ，那么：当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？求四边形 QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？分析：中应由QAP 为
5、等腰直角三角形这一结论，需补充条件 AQ=AP，由AQ=6t，AP=2t，可求出 t 的值；中四边形 QAPC 是一个不规图形，其面积可由矩形面积减去DQC 与PBC 的面积求出；中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此须分类讨论.解：AP=2t，DQ=t，QA=6t，当 QA=AP，即 6t=2t，t=2（s）时，QAP 为等腰直角三角形；SDQC=12t=6t, SPBC=6(122t)=366t, S四边形21 21QAPC=1266t（366t）=36（cm2） ，由计算结果可见：在 P、Q 两点移动的过程中，四边形 QAPC 的面积始终保持不变；图 3DECAOFB 图 4QAP
6、=ABC=90，当时，QAPABC，BCAP ABQA62 126tt解之得 t=1.2（s） ；当时，PAQABC，ABAP BCQA122 66tt解之得 t=3（s）.故当 t=1.2s 或 3s 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似.说明：本例是动态几何题，同时也是一道探究题要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓其本质，揭示出变中不变的规律其结论也可提出：“P、Q 两点到对角线 AC 的距离之和保持不变” ，四边形 QAPC 的面积也可由QAC与CAP 的面积求出， ；中考察了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性. 例 3. 当你进入博物
7、馆的展览厅时，你知道站何处观赏最理想？如图 3，设墙壁上的展品最高处点 P 距离场面 a 米，最低处点 Q 距离场面 b 米，观赏者的眼睛点 E 距离地面 m 米当过点 P、Q、E 三点的圆与过点 E 的水平线相切于点 E 时，视角PEQ 最大，站在此处观赏最理想(1)设点 E 到墙壁的距离为 x，求 a、b、m、x 的关系式；(2)当 a=2.5，b=2，m=1.6 时，求：和墙壁的距离为 x 米；视角PEQ 的度数（精确到 1 度） 1 2解：(1)水平直线 HE 切O 于点 E.HE2=QHHP又 HE=x，QH=bm，PH=am，x2=（am） （bm）.(2)当 a=2.5，b=2，
8、m=1.6 时，由(1)中所得： 1x2=（2.51.6） （21.6）x=0.6点 E 与墙壁距离 x 的值为 0.6 米.作 ODPR 于 D，则POQ=2POD，POQ=2PEQ， 2PEQ=POD.在 RtPOD 中，tanPOD= 125ODPDPEQ=23说明：将几何计算题富于一个实际情境是中考中的一个新视点，符合新课程标准的精神，在今后的中考命题将会有很强的生命力，解这类题时，要能从实际中抽象出纯数学问题，然后利用相关知识解决问题.复习中应注意对常规题进行演变，有对针性训练.例 4.如图 4,方形 ABCD 的 AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，DF 切半圆于点 E
9、，交 AB 的延长线于点 F，BF=4求：(1)cosF 的值；(2)BE 的长分析：(1)要求 cosF 的值，就要把F“放”到直角三角形中，由于 DF 是半圆切线，只要连结 OF 即可，然后利用相似三角形定理，求出 OF、EF；(2)利用勾股定理和相似三角形即可求得解：(1)连结 OE.DF 切半圆于 E，OEF=90，在正方形 ABCD 中，AB=AD，DAF=90，OEF=DAF.又F 为公共角，OEFDAF.即21ABOE DAOE AFEFAF=2EF. DF 切半圆 O 于E，EF2=FBFA=BF2EF，EF=2BF=8，AF=2EF=16.AB=AFBF=12，FO=AB+B
10、F=21 2112+4=10.在 RtOEF 中，cosF=.54 108FOEF(2)连结 AE，DF 切半圆于 E，EAF=BEF.F=F，BEFEAF.设 BE=k(k0)，则 AE=2k，AB 为半圆 O 的直径，21 168AFEF EABEAEB=90. 在 RtAEB 中，AE2+BE2=AB2， （2k）2+k2=122,BE=k=.5512说明：在相似形、圆等问题中渗透三角形函数知识、方程知识，围绕有关相似比、面积之比来命题是近年中考题命题又一新特点解这类题要善于把三角函数的值与线段比相互转化，并能设参数来表示有关线段，运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解决解几何计算综合
11、题要善于把复杂的几何图形“分解”为若干个基本图形，并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考，则能快速找到解题途径例 5.有一长方形的餐厅，长 10m，宽 7m，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为 1.5m 的圆形（如图 5-1 所示）.在保证通道最狭窄处的宽度不小于 0.5m 的前提下，问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 1420 方格纸内画出设计示意图.（提示：画出的圆应符合比例要求；为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上）图 5-1图 5-2图 5
12、3图 54ABC图 6分析：这是一道方案设计问题，图 5-2 中每一正方形小格宽度均表示 0.5m，餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子，就看能否在图 11-7-2 中画出三个或四个半径为三格宽的圆，并使圆与圆之间、圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格，我们可以按画三个圆、画四个圆分别计算.解：此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子.摆放三套与四套的设计方案参考图 53、图 54，只要满足如下条件： 每个圆的半径为 1.5cm； 每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于 2cm； 任意两圆的圆心距不小于 3.5cm.说明：对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,
13、可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.该试题是在考生容易想象的情境中考查学生用数学的能力，源于生活，打破常规，重视学生探究问题的能力的培养和动手操作意识的形成，这是今后中考试题的一个方向.几何型综合题不管试题如何变化，都是以日常学习中的基本知识为背景，或让几个背景叠加，或让静态的几何关系运动起来，在运动中探求图形不变的位置或数量关系。因此，这类问题的解决是以具有扎实的基本功为前提的，因此只要平时注重基本知识、基本图形的积累与总结，再合理运用解题策略，就可以达到事半功倍的效果。DFCABE图 9ABCPQ图 8图 7【习题】 如图 6，在ABC 中,已知 BC=6,C=6
14、00,sinA=0.8, 求 AB 和 AC 的长.(结果保留根号)如图 7，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m，在地面 A 点测得气球中心 O 的仰角OAD=60，测得气球的视角BAC=2（AB、AC为O 的切线，B、C 为切点）则气球中心 O 离地面的高度 OD 为（ ） 。 （精确到 1m，参考数据 sin1=0.0178， =1.732）A 94m B 95m C 99m D 105m3.如图 8,RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合） ，Q 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合）.
15、如图，当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 CP 的长；当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ 长的取值范围；若不可能，请说明理由. .如图 9，将矩形 ABCD（ABAD）沿 BD 折叠后，点 C 落在点 E 处，且 BE 交 AD 于点F.若 AB=4，BC=8，求 DF 的长；若 DA 平分EDB，求的值.BCAB答案部分：答案部分：【习题】 过 B 点作ABC 的高 BD,则在 RtBCD 中，CD=BC=3,BD=,在 RtABD 中,AB=2133,AD=,从而，AC=AD+CD=3+4315 8 . 0 33 sinABD 43922 BDAB439说明：遇到 600、sinA 应联想到解直角三角形，为了保证 600 、sinA 的方便使用，应考 虑由 B 点向 AC 作高； C3.在 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，AB=13，Q 为 BC 的中点，CQ=QB.又PQAC，AP=PB.即 P 是 AB 的中点.在 RtABC
