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1、一、填空题（每小题 1 分，共 20 分） 1、 设 A 包含于 B，则 AB，AB。2、 设 是 A 与之间的一个一一映射，aA，则 1（a） ）A 。 3、 设 G 为一非交换群，则G。 4、 设 G 为一个有限群，aG，则 a 的阶。 5、 设 Sn为 n 次对称群，则Sn|。 6、 设 G 为一个变换群，则 G 的单位元为。 7、 设 为 Sn中一个 k-循环置换，则（）k=_. 8、 设 a 的阶为 n，d=(r,n),则 ar的阶。 9、 设 G 为一个循环群，则 G 一定为群 10、 设（123）S3，则（123）1。 11、 设 G 为一个群，H 为 G 的子群，则 H 的左陪
2、集个数。 12、 设有限群 G 的阶为 m，G 中元素 a 的阶为 n，则 n 与 m 之间有 关系。 13、 指数为 2 的子群一定为子群。 14、 设 G 为一个循环群，N 为 G 的子群，则 G/N 为群。 15、 设 R 为一个整环，a,bR，ab0，则 a_,b_。 16、 设 F 为有 4 个元素的域，则 F 的特征为。 17、 设 S 为环 R 的子环，则对任意 a,bS，则 。 18、 设 R 为 R0的一个子环，R0，则包含 R 和 的 R0的最小子环 为。 19、 设 R 为一个环，aR，则（a）中元素均可写成 形式。 20、 设 R 为整数环，则（5,7）。二、计算题（每
3、小题 8 分，共 32 分） 21、设 R 为由所有复数 a+bi(a,b 为整数)作成的环。 （1）求 1i 生成 的主理想（1+i） ；（2）求环 R/(1+i)的元素个数。 22、求出所有与 10 互素的模 10 剩余类。 23、设 GS3，N（1） ， （123） ， （132） （1）求 G/N；（2）求 N 在 G 里的指数。 24、设（1234）S4， （2134）S4， （1）求（1243）（2134）; （2）求（1243）生成 S4的子群。 三、证明题（每小题 8 分，共 32 分） 25、设 G 为一个群，且对任意 aG 有 a2=e,则 G 为交换群，试证明之。26、证明：循环群的子群也为循环群。27、证明：集合 F=所有实数 a+b|a,b 为有理数按普通数的加法和3乘法作成一个域。 28、证明：两个理想的交集还是一个理想。 四、分析题(每小题 8 分，共 16 分) 29、设 R 为整数环，pR，分析 p 生成的主理想(p)中元素具有的性质， 说明 p 为何时(p)为最大理想。 30、分析子群 N 为群 G 的不变子群的条件(从元素与元素之间进行考 虑)，并证明你的结论。
