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1、一、填空题(每小题 1 分,共 20 分) 1、 设 A 包含于 B,则 AB,AB。2、 设 是 A 与之间的一个一一映射,aA,则 1(a) )A 。 3、 设 G 为一非交换群,则G。 4、 设 G 为一个有限群,aG,则 a 的阶。 5、 设 Sn为 n 次对称群,则Sn|。 6、 设 G 为一个变换群,则 G 的单位元为。 7、 设 为 Sn中一个 k-循环置换,则()k=_. 8、 设 a 的阶为 n,d=(r,n),则 ar的阶。 9、 设 G 为一个循环群,则 G 一定为群 10、 设(123)S3,则(123)1。 11、 设 G 为一个群,H 为 G 的子群,则 H 的左陪
2、集个数。 12、 设有限群 G 的阶为 m,G 中元素 a 的阶为 n,则 n 与 m 之间有 关系。 13、 指数为 2 的子群一定为子群。 14、 设 G 为一个循环群,N 为 G 的子群,则 G/N 为群。 15、 设 R 为一个整环,a,bR,ab0,则 a_,b_。 16、 设 F 为有 4 个元素的域,则 F 的特征为。 17、 设 S 为环 R 的子环,则对任意 a,bS,则 。 18、 设 R 为 R0的一个子环,R0,则包含 R 和 的 R0的最小子环 为。 19、 设 R 为一个环,aR,则(a)中元素均可写成 形式。 20、 设 R 为整数环,则(5,7)。二、计算题(每
3、小题 8 分,共 32 分) 21、设 R 为由所有复数 a+bi(a,b 为整数)作成的环。 (1)求 1i 生成 的主理想(1+i) ;(2)求环 R/(1+i)的元素个数。 22、求出所有与 10 互素的模 10 剩余类。 23、设 GS3,N(1) , (123) , (132) (1)求 G/N;(2)求 N 在 G 里的指数。 24、设(1234)S4, (2134)S4, (1)求(1243)(2134); (2)求(1243)生成 S4的子群。 三、证明题(每小题 8 分,共 32 分) 25、设 G 为一个群,且对任意 aG 有 a2=e,则 G 为交换群,试证明之。26、证明:循环群的子群也为循环群。27、证明:集合 F=所有实数 a+b|a,b 为有理数按普通数的加法和3乘法作成一个域。 28、证明:两个理想的交集还是一个理想。 四、分析题(每小题 8 分,共 16 分) 29、设 R 为整数环,pR,分析 p 生成的主理想(p)中元素具有的性质, 说明 p 为何时(p)为最大理想。 30、分析子群 N 为群 G 的不变子群的条件(从元素与元素之间进行考 虑),并证明你的结论。