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1、江西师范大学 08 届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其在留数定理及其在积积分中的运用分中的运用（Residue theorem and the use in the Calculus） 姓 名： 刘 燕 学 号： 0507010122 学 院：数学与信息科学学院专 业：数学与应用数学 指导老师： 易 才 凤（教 授）完成时间：2009 年*月*日 留数定理及其在积分中的应用留数定理及其在积分中的应用【摘要摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计江西师范大学 08 届学士学位毕业论文算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容-留
2、数定理，并得 到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用 积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分 的计算问题.【关键词关键词】解析 孤立奇点 留数 留数定理Residue theorem and the use in the Calculus【Abstract】 This paper, we first introduce the prior knowledge of complex 江西师范大学 08 届学士学位毕业论文function Calculus，and introduce the method of calculating t
3、he residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article-the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem .This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by
4、using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem 目录江西师范大学 08 届学士学位毕业论文1 引言 . 2 预备知识.2.1 复积分.2.2 解析函数极点及留数.2.3 留数的计算方法.3 留数定理.3.1 留数定理.3.2 留数定理的证明.3.3 留数定理的推广.4 应用留数定理计算积分.4.1 复积分的计算.4.2 实积分的计算.5
5、参考文献6 致谢1 引言众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积 分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使江西师范大学 08 届学士学位毕业论文xbzn1nzn22z 1z1az 0y0 图 1可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐. 因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用 复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具. 在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数在实数轴上的某一段上的积分，我们在上适当附)(xf加某一曲线使其构成一简单闭
6、曲线，从而将积分转化为复变函数的围线积分，C 然后再运用留数定理即可解决. 留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的 洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的 重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别 是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作 用. 那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分 中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可 以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用. 此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒
7、歇定理等重要 定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.2 预备知识2.1 复积分复变函数积分的定义 定义定义 2.1 设有向曲线：C)(),(ttzz以为 起点起点，为终点终点， 沿有定义.)(za )(zb )(C顺着从 a 到 b 的方向在上取分点：CCbzzzzann,110L把曲线分成若干个弧段（如图 1） 。从到的每一弧段上任取C1kz), 2 , 1(nkzkL江西师范大学 08 届学士学位毕业论文一点.做和数k， nkkkn1)(S其中.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果1kkkzzz和数的极限存在且等于 J，则称沿（从到）可积，而称 J 为nS)
8、(Cab沿（从到 b）的积分，并以记号表示：)(Cacdz)(J =.cdz)(称为积分路径.表示沿的正方向的积分，表示沿负方向Ccdz)(Ccdz)(C的积分.如果 J 存在，我们一般不能把 J 写成的形式，因为 J 的值不仅和,badz)(a有关，而且与积分路径有关.bC显然，沿曲线可积的必要条件为沿有界.此外， ，我们还有下)(C)(C面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.定理定理 2.1 若函数沿曲线连续，则沿可积，1),(),()(yxivyxuxfC)(C且. cccudyvdxivdyudxdz)(这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元 实函数曲线积
9、分的计算问题.除此之外，复积分的计算方法还有很多，比如莱布 尼兹公式，柯西定理，柯西公式，以及我们后面要重点介绍的运用留数定理计 算复积分等.2.2 函数极点及留数2.2.1 解析函数的极点解析函数的极点定义定义 2.2 若函数在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析，)(0z0z)(点，则称为函数的奇点.0z)(定义定义 2.3 如果函数在点的某一去心邻域（即除)(aRazaK0:去圆心的某圆）内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点.aa)(a)(孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的一种类型.以解析函数的洛朗展式为 工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质.江西师范大学
10、08 届学士学位毕业论文我们知道，如为函数的孤立奇点，则在点的某去心领域a)()(a内可以展成洛朗级数Ka.nnnazc)()(实际上，非负幂部分 表示在点的邻域 K：内的解nnnazc)(0aRaz析函数，故函数在点的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分)(a，其负幂部分又称为在点的主要部分.根据其主要部分的性nnnazc)(1)(a质，孤立奇点可分为可去奇点，极点及本质奇点。在此我们重点介绍极点.定义定义 2.4 如果在点的主要部分为有限多项，设为)(a，)0()()(1 1)1( mmm mmcazc azcazcL则称 a 为的 m 阶极点。一阶极点也称为单极点.)(定理定理 2.2
11、如果函数以点为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，1)(a它们中的任何一条都是 m 阶极点的特征.（1）在点的主要部分为)(a)0()()(1 1)1( mmm mmcazc azcazcL（2）在点的某去心邻域内能表成)(a，mazz)()()(其中在点邻域内解析，且；)(za0)(a（3）以点为 m 阶零点（可去奇点要当做解析点看，只要令)(1)(zga）0)(zg定理定理 2.3 函数的孤立奇点为极点的充要条件是1)(a江西师范大学 08 届学士学位毕业论文. )(lim az定理定理 2.4 函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是)(a.)()(lim为有限数bb az 定理定理 2.3
12、 函数的孤立奇点为本质极点的充要条件是)(a不存在.)(lim az2 留数留数 如果函数在点是解析的，周线全在点的某邻域内，并包围点，)(aCaa则根据柯西积分定理.0)(dz c但是，如果是的一个孤立奇点，且周线全在的某个去心邻域内，a)(Ca并包围点，则积分acdz)(的值，一般说来，不再为零.并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概 括起来，我们有定义定义 2.5 设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心邻域)(a)(a内解析，则称积分Raz0)0 ,:()(21Razdzi为在点 a 的留数（residue） ，记为.)()(Res az由柯西积分定理知道，当，留数的值与无关，利
13、用洛朗系数公R0式有，1)(21cdzi即；这里是在处的洛朗展式中这一项的系数.1)(Re cs az1c)(az az 1由此可知，函数在有限可去奇点处的留数为零.2.3 留数的计算方法为了应用留数定理求周线积分，首先应掌握求留数的方法.江西师范大学 08 届学士学位毕业论文在计算孤立奇点的留数时，我们只关心其洛朗展式中的这一项的系aaz 1数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法；对于 n 阶极点处的留数，为避免每 求一个极点处的留数都要去求一次洛朗展式，可以运用下面的定理中的公式来 求.定理定理 2.42.4 设为的 n 阶极点，1a)(，nazz)()()(其中（由极点性质知）在点解析，则（ za0（ a.)!1()()(R)1(naesnaz这里符号代表，且有.（a0（ a)(lim)()1(1zanazn（推论推论 2.52.5 设为的一阶极点，1a)(，)()(aza（则 .)()(Raes az 推论推论 2.6 设为的二阶极点，1a)(，)()(2azz（则 .)()(Reas az 定理定理 2.7 设为的一阶极点（只要及在点解析，1a)()()(zz（ z（ za且（） ，0)(, 0)(, 0)aaa
