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1、极射赤平投影极射赤平投影 CAD 图解及其图解及其 2009-03-19 22:35:48| 分类： 工程地质 |字号 订阅文赵文廷 卢毅一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及岩土工程勘察规范（GB5002194）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用
2、计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。2.球面：投影球的表面称为球面。3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径
3、相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中 PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中 NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中 DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中 AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中 FG 或图一（c）中 PACB）。6.
4、极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中 A、B）。（二）平面的赤平投影平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平
5、投影为大圆弧（如图二中的NBS）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的 NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的 NESW）。2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三 KDH）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三 FG）；当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中 PACB 的投
6、影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中 AB），AB是一个与基圆同心的圆。（三）直线的赤平投影直线 AB 的投影点就是其极点 A、B 和极射点 P 的连线与赤平面的交点 A、B。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差 180（如图五）。（四）吴氏网及其 CAD 制作目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小
7、相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。1.吴氏网的结构及成图原理吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。标准吴氏
8、网的基圆直径为 20cm，经、纬线间的角距为 2。(1)基圆，由指北方向（N）为 0,顺时针方向刻出 360，这些刻度起着量度方位角的作用；(2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由 0到 90（角距间隔为 2）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线 EW 的交点到端点（E 点和 W 点）的距离分别代表各平面的倾角。如图六中 GW 表示的大圆弧 NGS 所代表的平面向西倾斜，倾角为 30。(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O 愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心 O 愈近，则半径角距就
9、愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是 2，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示，EDSHWGNF，角距都为 30。2.吴氏网的 CAD 图解绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有 CAD 制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在 CAD 制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。(1)绘制大圆弧的原理与步骤要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点 N、S、B（如图二所示），其中 N、S 点是每条大圆弧
10、都必须经过的，是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线 EW 的交点 B，问题就迎刃而解。 计算 OB长度根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点 O 与点 B之间的距离（公式一）式中 R基圆的半径；大圆弧所代表平面的倾角（）。以基圆的圆心为圆心，OB长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线 EW 交于 B点。过 N、S、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。(2)绘制小圆弧的原理与步骤要绘制半径角距为 的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的 A、C、B三个点）。根据吴氏网的结构与原理，可以通过 CAD 制图确定 A、C、B 三个点的位置。确定点
11、C，首先用公式一计算点 O 与点 C 间距离，但其中 为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC 长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线 NS 交于 C 点。以基圆的圆心为基点，将南北径线 ON 分别逆时针和顺时针旋转角度 ，得两条直线，分别与基圆交于 A、B 点 。过 A、C、B 三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。三、赤平投影网 CAD 图解的应用利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为 0，顺时针数到
12、360。东西直径 EW 确定倾角，一般是圆周为 0，至圆心为 90。这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。如果用 CAD 制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。1.平面赤平投影的 CAD 图解（如图七） 2.例 1：一平面产状 12630，绘制其赤平投影图。(1)绘制一直径为 20cm 的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出 E、S、W、N。后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。(2)平面的倾向是 126，则其走向为 36。将南北径
13、线绕基圆的圆心 O 顺时针旋转 36到达 AB位置，与基圆交于 A、B 两点，则 AB 就是平面的走向线。(3)以基圆的圆心 O 为基点，将射线 ON 顺时针旋转 126到达 OD 位置，与基圆相交于点 D，则OD 即为该平面的倾向线。(4)用公式一计算线段 OC 长度。以基圆的圆心 O 为圆心，OC 为半径画圆，交 OD 于 C 点。(5)采用三点法，即过 A、C、B 三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧 ACB 即为该平面的赤平投影。2.直线赤平投影的 CAD 图解（如图八）例 2：一直线产状 33040，绘制其赤平投影图。(1)将 ON 绕圆心 O 顺时针旋转 330后到达 OA 位置
14、，与基圆交于点 A，则 OA 即为该直线的倾伏向。(2)用公式一计算 OA值。以基圆的圆心 O 为圆心，OA为半径画圆，交 OA 于 A点，则点 A即为该直线的赤平投影。3.平面法线赤平投影的 CAD 图解（如图九）例 3：一平面产状为 10540，绘制其法线的赤平投影。(1)按例 1 所述方法，绘制产状为 10540平面的赤平投影大圆弧 NBS。(2)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于 90，因此平面法线的倾角为 50。用公式一计算OA。以基圆的圆心 O 为圆心，OA为半径画圆，交 BO 的延长线于 A点，则 A点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。由于平面法线倾向与平面倾向相反，相
15、差 180，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于 90，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为 28550，然后再按例 2方法绘制法线的赤平投影。4.相交两条直线所构成平面的产状例 4：已知两直线 18020和 9032.3相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、（b）。(1)为很好地利用 CAD 制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：tan2sin2=tan21+tan2-2tan1tan2cos （公式二）式中 两条相交直线所构成平面的倾角（）；1、2分别为两条直线的倾伏角（）；两条直线倾向夹角（）。用公式二计算两条直线
16、所构成平面的倾角为 =36.13。(2)确定投影大圆弧的圆心 O，点 O应在线段 CF的垂直平分线上。要确定点 O的位置，需要用下列公式计算平面的赤平投影大圆弧的半径 。计算出赤平投影大圆弧的半径 后，再以点 C或者点 F为圆心画圆，与线段 CF的垂直平分线相交于点 O。（公式三）式中 R赤平投影大圆弧的半径;R基圆的半径。(3)确定平面的走向 AB：以 O为圆心，以 为半径画圆，与基圆相交于两点 A、B，则 AB 即为所求平面的走向，为 30。由此算出该平面的倾向为 120。因此所求平面产状为 12036。此外，两条直线所构所平面的倾向，也可由下式计算确定：（公式四）式中平面倾向与直线 1 倾向之差；其余符号意义同公式二。5相交两条直线的夹角及其角平分线例 5：用赤平投影法求解例 4 两条直线的夹角及其角平
