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1、1Dyt = 0.0076 + 0.2627 Dyt-1 + 0.2767 Dyt-3 + ut (2.79)(7.4) (3.0) (3.2) R2 = 0.2, DW=2.2, F=13.9, Q(15) = 7.0, 2 0.05 (12) =21通过 t 值、DW 值、F 值和 Q 值，说明 (2.79) 式是一个满意的日本人口模型。图 5 显示模 型 (2.79) 的残差中已不含有自回归和移动平均成分。模型特征方程的 3 个根是z1 = 1 / 0.75 = 1.33z2 = 1 / (0.24 - 0.56 i ) = 0.65 +1.51i （模为 1.64）z3 = 1 / (
2、0.24 + 0.56 i ) = 0.65 -1.51i （模为 1.64）对模型的预测评价见下表。评价指标动态预测评价静态预测评价 误差均方根 0.0060.005 绝对误差平均0.0040.002 相对误差绝对值平均55.9532.8 Theil 系数0.330.29下面利用模型 (2.79) 预测 y1995，并计算预测误差。已知 dy1994 = 0.0027，dy1992 = 20.00409，则预测结果是，1995 = 0.0076 + 0.2627dy1994 + 0.2767 dy1992 dy= 0.0076 + 0.2627 0.0027 + 0.2767 0.00409
3、 = 0.00941995 = y1994 +1995 = 1.25034 + 0.0094 = 1.25974y dy已知 1995 年日本人口实际数是 1.25569 亿人。预测误差为 = = 0.0032 （同理 1996 年日本人口数的预测误差为 0.0055）25569. 125569. 125974. 1另一种估计模型：AR(4) 模型 Dyt = 0.2559 Dyt-1 + 0.1933 Dyt-2 + 0.2687 Dyt-3 + 0.2096 Dyt-4 + ut (2.80)(2.8) (2.1) (2.9) (2.3)R2 = 0.18, DW=2.0, F=8.1,
4、Q(15) = 6.0, 2 0.05 (12) =20通过 t、DW、F 和 Q 值，说明 (2.80) 式是一个满意的日本人口模型。模型特征方程的 33个根是z1 = 1 / 0.97 = 1.03z2 = 1 / (0.09 - 0.63 i ) = 0.22 +1.56 i （模为 1.58）z3 = 1 / (0.09 + 0.63 i ) = 0.22 -1.56 i （模为 1.58）z4 = 1 / (-0.54) = -1.85对模型的预测评价见下表。评价指标动态预测评价静态预测评价 误差均方根 0.0090.005 绝对误差平均0.0070.002 相对误差绝对值平均87.
5、6524.3% Theil 系数0.90.29时间序列建模举例 1中国出口贸易总额序列01000200030004000556065707580859095EXT3456789556065707580859095LNEXT根据相关图和偏相关图，应建立 Lnext 的 MA(1)模型。残差图 4-1.0-0.50.00.51.0556065707580859095RESID残差的 Q 检验如下：中国进口贸易总额序列05001000150020002500556065707580859095IMP345678556065707580859095LNIMP5根据相关图和偏相关图，应建立 Lnimp
6、的 AR(2)模型。残差图 -1.0-0.50.00.51.0556065707580859095RESID6残差的 Q 检验如下：第 3 章 非平稳随机过程从本章起介绍计量经济学近 20 年来最新研究成果。如果把第 1 章内容称为经典计量 经济学，那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。 从 1974 年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用非平稳时间序列建立经典计量经济 模型时会出现虚假回归问题。 按一般原则，在建立模型时，必须依靠经济理论，同时对参数进行假设检验。实际上， 只有经济理论是不够的。因为经济理论不可能具体到每一个细节。又比如，处于调整中的 经济变量，哪些是它的外生变量，哪些
7、是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。 所以当研究经济变量参数变化规律时，常常采用另外一种方法，即模特卡罗模拟的方法。 通过设计具有某种特征的随机过程或数据生成系统反复生成数据，进而模拟、研究经济问 题。下面常常用到数据生成系统这个概念。3.1 单整性 单整性：若一个随机过程 xt 必须经过 d 次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的 ARMA 过程，则称 xt 具有 d 阶单整性。用 xt I(d) 表示。 对于平稳过程表示为 I(0)。注意：单整过程是指单整阶数大于零的过程。 对于 I(d) 过程 xt(L) (1- L) d xt = (L) ut因含有 d 个单位根，所以常把时间序
8、列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test） 。7若 xt I(d)，yt I(c)，则zt = (a xt + b yt) I (maxd, c). zt = (a xt + b yt) = (a xt + b yt) - (a xt -1 + b yt - 1) = (a xt + b yt)当 c d 时，zt只有差分 c 次才能平稳。一般来说，若 xt I (c)，yt I (c)，则zt = (a xt + b yt) I (c)但也有 zt的单整阶数小于 c 的情形。当 zt的单整阶数小于 c 时，则称 xt与 yt存在协整关系。3.2 单整过程的统计特征以随机游
9、走过程和平稳的 AR(1)过程作比较, 对于随机游走过程 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2) 有 (3.7)xt = xt-2 + ut-1 + ut = = , （具有永久记忆性） tiiu1Var(xt) = = tu2. （随 T 的增加，方差变为无穷大） tiiuVar1)(下面求 xT 和 xT - k的相关系数，k 。Cov(xT, xT-k) = E(xT xT-k) = E() = E() = (T - k) u2 Tiiu1kTiiu1kTiiu12k = = = = )()(),(kTTkTT xVarxVarxxCov222)()
10、(uuukTTkT TkT Tk /1对于 AR(1) 过程 yt = 1 yt-1 + vt , 1 2)1I(0) 与 I(0) 0.045I(1) 与 I(1) 0.77I(2) 与 I(2) 0.95图 3.2 （示意图） 样本容量与虚假回归的关系（回归变量均为 I(1)变量）0501001502000.30.40.50.60.70.80.9T 图 3.3随样本容量变化，拒绝 1 = 0 的概率，即 P(t() 2 ) 见图 3.3。1 虚假回归的直观解释因为上述数据生成系统是真实的，所以对于回归模型yt = 0 + 1xt + wt , 应有1 = 0，即 yt与 xt不相关，则模型
11、变为yt = 0 + wt 。 已知 yt I(1), wt I(0)，所以 yt = 0 + wt 两侧的单整阶数出现矛盾。导致1无法表现为零。3.4 单整过程的极限分布 维纳过程可看作是一个在 0, 1 区间内连续的随机游走过程。 定义：对于任意一个连续的随机过程 V(i )，i 0，i 0, 1，如果满足以下四个条件。 对于每个 i 0，有 EV(i) = 0。 对于每个 i 0，V(i) 都是正态分布的并且是非退化的。10 V(i) 具有独立的增量。 PV(0) = 0 = 1。 则称 V(i)为 Wiener 过程（用 W(i) 表示）或布朗运动（Brownian motion，用
12、B 表示） 。 Norbert Wiener (1894-1964) 是研究随机过程的美国科学家，第二次世界大战时专门研究鱼 雷击中潜艇的问题。他在一次看病候诊的过程中，看到苍蝇在屋中飞，于是建立了以他的 名字命名的 Wiener 过程。 T-1/2服从 Wiener 过程函数的分布，所以随着 T 的增大，的分布发散。00(p130, (3.54) )服从 Wiener 过程函数的分布。因为两个 Wiener 过程相互独立，所以其最大可能1取值为零。 (p129, (3.51) ) 因为 T-1/2 t() 的极限分布存在，所以 t() 的分布发散。 (p131, (3.58) )11 R2有
13、非退化的极限分布。不收敛于零。 (p132, (3.59) ) DW 统计量依概率收敛于零。 (p132, (3.60) )给定条件 ut , vt IN (0,1), T = 100, 模拟 10000 次得，t()，R2，DW 的分布模拟结011果如下（见书 74-77 页，图 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8） 。附录：数量级（阶数）和收敛速度设 aT是一个实数列，gT是一个正实数列，则有如下定义。 1T 1T1如果 = 0，则称 aT是 gT的低阶数量级。记作 aT = o(gT)。TTTga lim2如果存在实数 M，且对于所有的 T 有 M，则称 aT的数量级不超过
14、gT 。TTga或 aT的最大数量级是 gT 。记作 aT = O(gT)。对于随机变量序列，数量级应是概率测度的数量级。设xT是一个随机变量序列，gT定义如上。则有如下定义。 1T3若对于任何 0，有p xT - x = 0，则称 xT 依概率收敛于随机变量 Tlimx，或 xT的概率极限是 x。记作xT = x。 Tlimp4如果()= 0，则称 xT是 gT的概率测度低阶数量级。记作 xT是 op(gT)的。 TlimpTTgx5若对于任何 0，存在一个正实数 M，使p M ，则称 xT的概 TlimTTgx率测度最大数量级不超过 gT ，记作 xT 是 Op(gT)的。在计量经济学的理论推导中，常用 T表示 gT。当 T时，如果序列(T)/ T 0，则定义(T)的数量级低于 T。记为 o(T)。如果11序列(T)/ T 是有界的，则定义(T)的最大数量级为 T。记为 O(T)。例，对于数列= (1 + 2 + 3 + 4 + T ) = (1/2)T (T + 1) Ttt1当 T时，因为1/2, 所以是 O(T 2)的。同理21TtTt Ttt1= (1/6)T (T +1) (2T +1) 是 O(T 3)的。 Ttt12= (1/2)T (T +1) 2 是 O(T 4) 的。 Ttt13对于数列1/T，因为当 T时，1，所以 1/T 是 O(T -1)
