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1、 本科生毕业设计（论文）本科生毕业设计（论文）正交矩阵与其应用正交矩阵与其应用 (The(The orthogonalorthogonal matrixmatrix andand itsits applicalion)applicalion)学学 院：院： 专专 业：业： 学学 号：号： 学生姓名：学生姓名： 指导教师：指导教师： 二二一一 年年 六六 月月摘摘 要要正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在 n 维实数内积空间中的
2、关于正交基写出的向量。的长度的平方是。如果矩阵形式为 的线性变换保持了向量长度，所以有限维vv2vQv线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立:正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。正交矩阵形成nn了一个群，即指示为的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。使得它在不 nO同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应
3、用。 关键词关键词: 正交矩阵;酉矩阵;正交群;正交变换IAbstractThe orthogonal matrix and its applicalion （作者英文名）：WaidyOrthogonal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements.
4、Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector . the length of the vvsquare i
5、s . If the matrix form of linear transformation maintained vector length, then Therefore 2vQvfinite-dimensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, l
6、inear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. orthogonal matrices form a group nnthat is
7、 directed to the orthogonal group,which is indicated ,it and its subgroups widely used in nOmathematics and physical science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applica
8、tions :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matrix the application of physics.Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformationII目目 录录1.引言12. 正交矩阵的定义与其基本性 12.1 正交矩阵的定义与判定 22.2 正交矩阵的性质与其证明 33. 正交矩阵的应用 3
9、3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 33.2 正交矩阵在化学中的应用 83.3 正交矩阵在物理学中的应用13参考文献 15致 谢 16附 录 160正交矩阵与其应用正交矩阵与其应用姓名： 学号： 班级： 1 1引言引言正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量。 的长度的平方是。如果矩vv2v阵形式为 的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、Qv反射和它们的组合，都产生正
10、交矩阵。反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。正交矩阵形成了一个群，即指示为 的正交群，它和它的子群广泛的用nn nO在数学和物理科学中。使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。2 2正交矩阵的基本知识正交矩阵的基本知识2.12.1 正交矩阵正交矩阵的的定义与定义与判判定定定义定义 2.12.1：级实数矩阵满足（或,或
11、），则称nAEAATEAATEAA1为正交矩阵。A判定判定 2.1-1：矩阵是正交矩阵;A1 AAT判定判定 2.1-2：矩阵是正交矩阵A;n, 2 , 1,)(0)(1， jijijijT i判定判定 2.1-3：矩阵是正交矩阵;An, 2 , 1,)(0)(1， jijijiT ji1备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义，即（或AEAAT,或） ，也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单EAATEAA1A位向量。当已知的正交矩阵求证其他的结论时，要用正交矩阵的定义及有关性A质。2.2 正交矩阵的性质正交矩阵的性质若是正交矩阵，则有以下性质：AA性质性质 1 1： ,则可逆,且其
12、逆也为正交矩阵;1A A1A性质性质 2 2： ,，也是正交矩阵,*ATA即有 ； * ij*T* ij*T-A 即 , -AA -1A即 即; A即 , AA,1A即 即时，时性质性质 3 3： 是正交矩阵；,.)2 , 1(kAk性质性质 4： 是正交矩阵的充分必要条件是；lA1l性质性质 5 5： 若也是正交矩阵, 则,都为正交矩阵。BABBATTABBA11AB证明:性质 1 显然, 所以也是正交矩阵。1A 111AAATTT1A性质 2 , 显然为正交矩阵。TAA1TA因为,AAAAAT* 1, 1当时, , 即;1A *AAT*Aij当时。 , 即。1A *AAT*Aij所以为正交
13、矩阵。*A性质 3 由正交矩阵定义 2.1 与判定 2.1-1，显然， kTTkAA，所以也是正交矩阵。 EEAAAAkkTTkkkA性质 4 是正交矩阵，显然，即有lA 1121AAllAlAlAlAT1l2由是正交矩阵，显然是正交矩阵。A1llA性质 5 由可知11,BBAATT,111ABABABABTTT故为正交矩阵。 同理推知,均为正交矩阵。ABBATTABBA11AB正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为 1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 1另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使TTTAn O1 1其中为的全部特征值, 即。 这些性质证明略。n,1KAnii, 2 , 11K3 3正交矩阵正交矩阵的的应用应用3.13.1 正交正交矩矩阵在线性代阵在线性代数数中的应用中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基，现在可以用正交矩阵中的一种特殊矩阵求标准正交基-初等旋转矩阵即初等旋转矩阵即 GivensGivens 矩阵矩阵。定义定义 3.13.1 设向量22 12, ,0,Tik nikttTt ttsttcdssK则称 n 级矩阵 100 0 100 000 00010 000 001
