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1、附件附件： 分类号分类号 O1515 商洛学院学士学位论文 矩阵的可对角化及其应用作者单位作者单位 数学与计算科学系数学与计算科学系 指导老师指导老师 刘晓民刘晓民 作者姓名作者姓名 陈毕陈毕 专业专业班级班级 数学与应用数学专业数学与应用数学专业 0707 级级 1 1 班班 提交时间提交时间 二二 0 0 一一年五月一一年五月 矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系 2007 级 1 班）指导老师 刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一 类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵 做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线
2、性代数的有关理论给出了矩阵 可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出 可对角化矩阵在求方阵的高次幂利用特征值求行列式的值由特征值和特征 向量反求矩阵判断矩阵是否相似向量空间线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagono
3、lization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given
4、 the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse
5、 matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc. Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 引言引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的） ，同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角
6、化的判定条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时也总结了它在相关方面的运用。预备知识：定义 1：如下形式的 nn 矩阵 = 称为对角矩阵简记为 =diag(,)1200 0000n L L MMMM L12 Ln定义 2：把矩阵 A（或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为 1 的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 A（或线性变换 ）的初等因子。定义 3：设 A 是数域 P 上的 n 级矩阵，如果数域 P 上的多项式 f(x)使得 f(x)=0，则称 f(x)以 A 为根，在以 A 为根的多项式中，次数最低且首项
7、系数为 1 的多项式称为 A 的最小多项式。定义 4：设 V 是 P 上的线性空间， 是 V 上的一个变换，如果对任意V 和P 都有，k kk 则称 为 V 的一个线性变换定义 5：设 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换，如果存在 P 中的一个数 和 V 中非零元素 使得，则称 为 的一个特征值，而称 为 的属于特征值 的一个特征向量，由 的属于特征值 的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成 V 的一个子空间，称为 , 的一个特征子空间。 定义 6:设 A,B 为数域 P 上的两个 n 级矩阵，如果存在数域P 上的 n 级可逆矩阵 X 使得 B=AX，则称 A 相似于 B，1X记为
8、A B，并称由 A 变到 B 得变换为相似变换，称 X 为相似变换矩阵。主要结论：1.1A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量。证明：必要性设 在基下具有对角矩阵，这就是说1n 1n O，因此就是 的 n 个线性无关的特征向,1,2,iiiin 1n 量。反过来，如果 有 n 个线性无关的特征向量，那么1n 就取为基，显然在这组基下 的矩阵是对角矩阵。1n 推论 1.1.1 如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根，即 有 n 个不同的特征值，那么 在某组基下的矩阵是对角形的。推论 1.1.2 在复数域上的线性空间中，如果线性变换
9、的特征多项式没有重根，那么 在某组基下的矩阵是对角形的。例：已知 在一组基下的矩阵为，试问 A 是否可3452A对角化？若能，写出相应的基变换的过渡矩阵 T。解：由于所以特征值为347252A 。当时，解方程组，求得它的122 1 12440550xx 基础解系是，因此对应的的的特征向量为。当1 1 1 112 时，解方程组，求得它的基础解系是22 12540540xx ，因此对应的特征向量为。综上可知4 5 22 2124 的特征值为 7，-2 对应的特征向量为，又12 ，即过渡矩阵 T=且有 121214,15 1415 154 34147099 11521502 99TAT 2.1.A
10、可对角化当且仅当特征子空间维数之和为 n.证明：必要性设 所对应的矩阵可对角化，即存在 V 的一组基，使 在这组基下的矩阵为。12n 11trtrEE O互不相同，显然，12t 12r 1V，对于任一向量，则12tttn rn rnV V这里 111111ttrrn rn rnn LLL12t L，于是 11111rrV L11tttn rn rnnV L。下证就是的一组基，显然只需证每个 1tVVVL 11,r 1V与特征根相应的特征向量都可由线性表出，先将1 11,r 分解，即，如果，那么12t L12t L10 是 的属于特征根的特征向量，并且不能全为零。12,tL设其中只有，是中的 k
11、 个元素，那么 1,kiiL01kiiL2,3,t，这显然矛盾，故即。 11kii L10 11111rr L同理可证与相应的一组基向量是的一组基，2 2221,rrr 2V，与相对应的一组基向量是 V 的一组基，故 tV1,tn rn LV=，即 V 的维数等于各特征子空间的维数之 12tVVVL和。充分性取的一组基且 在这组基下的矩阵(1,2,) iVit 1,111r 为，则为 V 的一组基，从而 在此基1irE 1,111r 1, rttt 下的矩阵为，故 可对角化，即 所对应的矩11trtrEE O阵可对角化。例设 A=，试判断 A 是否可对角化？若能，1001 0110 0110
12、1001 则求出可逆矩阵 T 使 A 成对角形。解：A 的特征多项式得（二重） ，221001 011020110 1001EA 12 （二重）是 A 的两个互异的特征根，又有特征矩阵20 。秩均为 2，易得1210011001 01100110 01100110 10011001EAEA ， 12210EAEAEAEA 令。则为 A 的属于0123410100101,01011010 12, 2 的所有线性无关的特征向量，为 A 的属于2 的所有34, 1 线性无关的特征向量。令 T= 12341010 0101,0101 1010 ，则有12000020000000000TAT 3.1.A 可对角化当且仅当 A 的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数。证明：若 所对应的矩阵可对角化，则有 V=，这里是 的所有互不相同的特征根， 12tVVVL12,t 取每个的一组基，合起来就是 V 的一组基，那 iV1,2,it么 在这组基下的矩阵显然是对角形。A=。于11trtrEE O是 的特征多项式为，显然的1 1( )trr tf xxEAxx( )f x根都在 F 内，且每个特征根的重数恰是的维数，必要性i iV得证。反之，若设是 的特征多项式
