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1、山东科技大学 2010 研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行 空间和列空间. 2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。 3、 利用 QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。 4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。5、 将 33 矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 1010100016、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组 Ax=b 有无穷多解。7、 所有的 22 实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 100001000
2、01000018、 通过施密特正交化可以获得矩阵的 QR 分解。9、 在选定一个基后，任何维数为 n 的欧式空间与同构。nR 10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有 m 行，n 列，则输入空间的维数是 n。 二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。 （R）2、两个子空间的并集是一个子空间。 （F）3、在线性方程组 Ax=b，当矩阵 A 式列满秩的时候，无论向量 b 是什么，方程组都有解。 （F）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。 （R）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的
3、各个矩阵的特征向量都相同。 （F）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。 （F）7、任何 NN 的实矩阵都可以对角化。 （F）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。 （F）9、任何 MN 实矩阵都有奇异值分解。 （R）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。 （R） 三、 （矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵 A 为 A= 42421、求矩阵 A 的四个基本子空间的基和维数初等变换 dim R（A）=dim R（）=1 dim N（A）=dim N（）=1 0042TATAR(A)的基 R()的基 N(A)的基 N()的基 22TA 42 12TA 112、画出矩阵 A 的四
4、个基本子空间的示意图。自己画很好弄3、写出投影到矩阵 A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量 b=0 1T 在列空间上的投影矩阵。IP =A(A) 因为 (A)不存在 不能用这种方法求解 求出列空间的基 B=得 IP=B(TA1TATA1 11B)=2 投影矩阵 IP*b=2 TB1TB 1111 114、写出投影到矩阵 A 的左零空间的正交投影矩阵，计算向量 b=0 1在左零空间上的投影向量。N()R(A)=IR N()=R(A) 所以 所以 TA3TA3IR)()(TANARIPIP= 投影矩阵*b=)()(ARANIPIIPT 1221)(TANIP 12四、 （矩阵奇异值分解的伪逆）设矩
5、阵 A 为 A= 11221、求矩阵 A 的奇异值分解。A A=VV 所以 归一化为特征向量T 11221212 5335 2 22 1 00 T82 122 2和 u = 同理的 u =从而 A 的 svd 分解是 A= 212121211 01212111228111 Av 2 10 1001 200821 2121 212、通过奇异值分解计算矩阵的 M-P 伪逆。A =V=TU 21 2121 21210081 1001 212141五、 （基变换和坐标变换）在线性空间 V=P3(x)中，有三个向量 f1（x）=-3+2x-x2 f2（x）=-x+2x2 f3(x)=-1+2x-x2 1
6、、 证明 B=f1（x） ，f2（x） ，f3（x）构成 V=P3（x）的一个基。设f +k f +k f = 解方程得矩阵满秩 所以 k =k =k =0 所以是基1k122331232、 设 V=P3（x）中有标准基 S=1，x，x2，写出由标准基 S 到基 B 的过渡矩阵。（-3+2x-x2 -x+2x2 _1+2x-x2）=(1 x x2) Q= 121212103121212103计算出向量 f（x）=3+12x+7x2在基 S 下的坐标向量。71233、 根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量 f（x）=3+12x+7x2在基 B 下的坐标向量。B=Q=171232112132 31061 31 21712317326320
