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1、巧思妙解认识深化后 结论推广时罗 增 儒(陕西师范大学数学系,710062)收稿日期:2005 - 05 - 09本文以2005年全国初中数学联赛的两 道解答题为例,说明如何认识解题思路,怎样 改进解题过程.1 领悟解题思路例1 a、b、c为实数,ac0时,f3 50;当a0 ,f(1) 0.由ac 0 c.由f3 5=3 5a+3 5b+c 0 ,有a+b+c 0 ,可推出2a+ba+b+c 0. 对f(1) 0乘以4a后,配方有(2a+b)2b2- 4ac,即 2a+bb2- 4ac.故-b+b2- 4ac 2a0 c,f3 50时,有3 50 ,使得x=3 5+1 +.代入原方程有a35
2、+2+b35+(1+) +c(1+)2=0.将其整理成关于的一元二次方程(a+b+c)2+23 5a+1 +3 5b+2c+3 5a+3 5b+c= 0.此方程有正根,即f(1)2+235a+1+35b+2c+f35=0有正根.由根与系数的关系有12=f3 5 f(1).可见,当f3 5f(1) 0.于是,3 50时,必有c 0.当a 0 ,则f3 5=3 -10 5a 0 ,f(1) =3 -2 3a-5 -3 3c 0.从而,a2f3 5f(1) 0”,则a0 c,就不用讨 论a 0” 不会有逻 辑漏洞. 1.3 完整解法 证法1 :记f(x) =ax2+bx+c. 由ac 0 ,则c 0
3、. 故f(1) 0. 得f3 5f(1) 0. 得F3 5F(1) 0. 得a2f f(1) AC,CD、BE分别是边AB、AC上的高,DE与BC的延 长线交于点T,过点D作BC的垂线交BE于 点F,过点E作BC的垂线交CD于点G.证 明:F、G、T三点共线. (2005 ,全国初中数学联赛)2.1 从表层认识到深层认识 本题条件给我们最深刻的印象是,垂直81中 等 数 学关系多:CDAB,BEAC,DFBC,EG BC.因此,从直角三角形的性质或面积关系 去证明是一个很自然的想法(标准答案正是 这样做的) .然而,这只是停留在表层认识上, 其实,题目中更深层的关系是垂直背后的平图1行(如图1
4、) : ( 1 )由DMBC、EN BC得DM EN. ( 2 )由CDAB、BEAC,不仅能推出BC上的高 线AR通过BE与CD的交点H(垂心) ,而且 还能推出AH、DM、EN三线平行. 下面的推广命题还将进一步证实,垂直 只是载体:首先是AR、BE、CD三线共点的载 体;其次是DM、AR、EN三线平行的载体.抓 住平行线被共点线所截,反复应用截线段的 性质可以得出一个自然而流畅的证明. 证明:如图1 ,设CD与BE相交于H,联 结AH并延长交BC于R,则AR为边BC上的 高.由DM、AR、EN均垂直于BC知 DMAREN. (1)由平行线DM、AR截共点线BA、BH、BR,平行线EN、A
5、R截共点线CA、CH、CR有 DF DM=AH AR=EG EN,得 DFEG=DM EN.(2)由平行线DM、EN截共点线TD、TM有DMEN=TD TE.从而,DF EG=TD TE.(3)联结TG、TF.由DFEG及式 得TG、TF重合,从而,F、G、T三点共线. 2.2 从深层认识到一般化推广 由上面的证明可以看到,其对高线或垂 线的依赖是非实质的,对锐角三角形的依赖 也是非实质的.在图1中,对锐角 ABC而 言,H是垂心,而对钝角 HBC而言,A是垂 心,两种情况下有相同的图形和结论.于是, 有下面的推广命题.命题2 在 ABC中,AD、BE、CF相交 于点O,过E作EMAD交CF于P,过F作 FNAD交BE于Q.若FE交BC的延长线 于T,则Q、P、T三点共线. 命题2虽然对任意三角形均成立,但证明 思路与例2一样,简明示意如下(如图2、3) .图2有趣的是,这个推广命题虽然比例2更本质,但 寻找证明思路反而更容易,因为辅助线AD已经作 出,平行关系已直接呈现,问题的深层结构已经成为 外部表征,这样一来,解决问题可以立即开始.这也 就说明 “一般化” 反而更易于解决. 命题2的更多证法不再赘述. 由上面两个例子的分析可以看到,对题目的结 构或解法获得深层认识之际,正是对结论产生一般 化推广之时.912005年第11期
