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1、椭圆的焦点弦长公式及其应用221cosabF贵州省龙里中学 洪其强 (551200)在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦 所在直线的倾斜角为 ， 、 、 分别表示椭圆的长半轴长、21Fabc短半轴长和焦半距，则有 。221cosab上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。例 1、已知椭圆的长轴长 ，焦距 ，过椭圆的焦点 作一直线交AB821F41F椭圆于 、 两点，设 ，当 取什么值时， 等于椭圆的短PQXPF1)0(PQ轴长？分析：由题意可知 是椭圆的焦点弦，且 ， ，从而 ，故由4a2c2b焦点弦长公式 及题设可得
2、： ，解得221cosabF 4cos816)(22cos，即 或 。2rar例 2、在直角坐标系中，已知椭圆 E 的一个焦点为 F（3，1） ，相应于 F 的准线为 Y 轴，直线 通过点 F，且倾斜角为 ，又直线 被椭圆 E 截得的线段的长度为 ，求椭圆 E 的l 3l 516方程。分析：由题意可设椭圆 E 的方程为 ，又椭圆 E 相应于 F 的准线)1()3(22byacx为 Y 轴，故有 （1） ， 又由焦点弦长公式有 （2）32ca 3cos22a516又 （3） 。解由（1） 、 （2） 、 （3）联列的方程组得： ， ，22b 4232b，从而所求椭圆 E 的方程为 。1c 1)(4)(2yx例 3、已知椭圆 C： （ ） ，直线 ： 被椭圆 C 截得的12byax0a1lbyax弦长为 ，过椭圆右焦点且斜率为 的直线 被椭圆 C 截得的弦长是它的长轴长的 ，232l 52求椭圆 C 的方程。分析：由题意可知直线 过椭圆 C 的长、短轴的两个端点，故有 ， 1l 82ba（1）又由焦点弦长公式得 = ， （ 2） 因 = ，得 ，22cosab54atn3（3）又 （4） 。解由（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）联列的方程组得： ，22cba 62a，从而所求椭圆 E 的方程为 。2 16yx
