矩阵论定义定理

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1、第 1 章 线性空间与线性变换线性空间 定义 1.1 设 V 是一个非空集合，F 是一个数域。定义两种运算，加法：任意 ，V，+V；数量乘法：任意 kF，V，kV，并且满足 8 运算，则称 V 为数域 F 上的线性空间，V 中元素成为向量定理 1.1 线性空间 V 的性质：V 中的零元素唯一；V 中任一元素的负元素唯一定义 1.2 设 V 是线性空间，若存在一组线性无关的向量组 1n，使空间中 任一向量可由它们线性表示，则称向量组为 V 的一组基。基所含的向量个数为 V 的维数，记为 dimV=n定理 1.2 n 维线性空间中任意 n 个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义 1.3 设

2、1是线性空间的 Vn(F)的一组基，对于任意 V,有=（1） （x1） ，则称数 x 是 在基 1下的坐标定理 1.3 向量组线性相关坐标相关定义 1.4 ， 为两组基，若满足 =C，则称矩阵 C 是从基 到基 的 过渡矩阵定理 1.4 已知 =C，V 中向量 A 在两组基下的坐标分别为 X,Y，则有 X=CY定义 1.5 V 为线性空间，W 是 V 的非空子集合。若 W 的元素关于 V 中加法与 数乘向量法运算也构成线性空间，则称 W 是 V 的一个子空间定理 1.5 设 W 是线性空间 V 的非空子集合，则 W 是 V 的子空间的充分必要 条件是 ，W，+W；kF，W，kW零空间：N(A)

3、=X|AX=0 列空间：R(A)=LA1,A2定理 1.6 交空间：W1W2=|W1 且 W2和空间：W1+W2=|=1+2，W1，W2定理 1.7 设 W1 和 W2 是线性空间 V 的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1W2)定义 1.6 设 W1 和 W2 是线性空间 V 的子空间，W = W1 + W2，如果W1W2 = 0,则称 W 是 W1 和 W2 的直和子空间。记为 W = W1W2 定理 1.8 设 W1 和 W2 是 V 的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1W2；W 中零向量表达式是唯一的；维

4、数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义 1.7 对数域 F 上的 n 维线性空间 V，定义一个从 V 中向量到数域 F 的二 元运算，记为(, )，即(, )：VF，如果满足对称性、线性性、正定性， 则称(, )是 V 的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。如果 V 是实数 域 R 上的线性空间，则为欧式空间；如果 V 是复数域上的线性空间，则为酉空 间定义 1.8 设V；(, )为內积空间，称 = 为向量 的长度，为(,)等于 1 则为单位向量定理 1.9 设V；(, )为內积空间，有|(, )|2 (, ) (, )，其中等 式成立的充要条件是 , 线性相关定义 1.9

5、(, ) = 0，则称 , 是正交的定理 1.10 不含 0 的正交向量组是线性无关的定义 1.10 设V；(, )为內积空间，若一组基满足条件(i,j) = 1 i=j, (i,j) = 0 ij，则称这组基微 V 的标准正交基定理 1.11 施密特正交化定义 1.11 设 V 是一个线性空间，若有 V 上的对应关系 T，使任意 V，都 有确定的向量 = T()V 与之对应，则称 T 为 V 上一个变换。若 T 对线性 空间中的线性运算，满足 T(+) = T () + T ()；T(k) = kT()，则称 T 是线性空间 V 上的一个线性变换 线性变换的性质：是线性相关的向量组，则T（）

6、也是线性相关的 向量组 零变换：T() = 0 恒等变换：T() = 像空间：R(T) 零空间：N(T)定理 1.12 R(T)像空间 N(T)零空间定义 1.12 线性变换的运算：乘法、加法、数乘、可逆定义 1.13 T() = A，则称 A 为 T 在基下的矩阵定理 1.13 保持加法、乘法、数乘：T1+T2 = A1 +A2定理 1.14 线性空间上同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，即 B = C- 1AC 其中 C 为为基 1 到基 2 的过渡矩阵定义 1.14 设 T 是线性空间 V 上的线性变换，W 是 V 的子空间没如果任意W，有 T()W，即值域 T(W)包含于 W，则称

7、W 是 T 的不变子空间定义 1.15 设 T 为內积空间上的线性变换，如果 T 不改变向量的內积，即 （T(),T()） = (,)，则称 T 为內积空间上的正交变换。当空间为欧式空 间时称为正交变换；若空间为酉空间，则称为酉变换定理 1.15 设 T 是內积空间上的线性变换，则 T 是正交变换；保持向量长度不 变；酉变换关于任一标准正交基的矩阵 U 满足 UHU=UUH=I定理 1.16 正交矩阵（CTC=CCT=I）行列式为+-1；酉矩阵的行列式的模长为 1C-1 = CT ,U-1 = UH；定义 1.16 设 Vn和 Vm是同一个数域 F 上的两个线性空间，变换 T : VnVm定理

8、 1.17 设 T 是 n 维线性空间 Vn到 Vm的线性变换，则 dimR(T) + dimN(T) =n第 2 章 Jordan 标准形介绍定义 2.1 设 T 为线性空间 V 上的线性变换，T（）=，则称数 为 T 的 特征值，向量 为线性变换 T 对应于特征值 的特征向量定理 2.1 设 V 上线性变换 T 在基下的矩阵为 A，则 A 的特征值 就是变换 T 的特征值；若 X 是 A 的特征向量，则 =基*X 就是 T 的特征向量定义 2.2 设 为线性变换 T 的特征值，是 T 对应于 的特征向量的极 大线性无关组，则称子空间 V=L为 T 关于 的特征子空间定理 2.2 设 是 V

9、 上线性变换 T 的 s 个互异的特征值。Vi 是 i 的特征 子空间，则 Vi 是 T 的不变子空间；定理 2.3 线性变换 T 有对角矩阵表示的充要条件是 T 有 n 个线性无关的特征 向量定理 2.4 线性变换 T 有对角矩阵表示的充要条件：V1 = Vn(F)推论：Vn(F)上线性变换有对角矩阵表示的充要条件是 Vn(F)可分解成 T 的一维不变子空间对 n 阶方阵 A，若存在多项式 g(),使矩阵 g(A) = 0,则称 g()为矩阵 A 的化零 多项式Jordan 标准形的求法：1.特征值 2.特征向量 3.广义特征向量(个数小于阶数)定理 2.6 g(A)是 A 的矩阵多项式，则

10、有：1. 是 A 的特征值，则 g()是 g(A)的 特征值 2.相似 3.准对角对 n 阶方阵 A，若存在多项式 g()，使矩阵 g(A)=0，则称 g()为矩阵 A 的化 零多项式定理 2.7 设 A，则方阵 A 的特征多项式就是 A 的化零多项式定义 2.5 设 T 是线性空间 V 上的线性变换，mT()是关于 的多项式，如果mT()满足：最高次项系数为 1；mT(T)=0；是 T 的化零多项式中次数最低的多项式，则称 mT()是 T 的最小多项式定理 2.8 T 的特征多项式 f()与最小多项式 mT()有相同的根，则定理 2.9 设变换 T 的特征多项式为 f()=( -1)r1,又

11、 T 的 Jordan 标准形中 关于 i 的 Jordan 块的最高阶数为 ni，则最小多项式 mT()= ( -1)n1定理 2.10 线性变换 T 可以对角化的充要条件是 T 的最小多项式是一次因子的 乘积第 3 章 矩阵的分解A=LU A=LDV定理 3.1 A 有唯一的 LDV 分解的充要条件是 A 的顺序主子式不等于 0定理 3.2 r(A)=k，如果 A 的顺序主子式不等于 0，则 A 有 LU 分解A=BC定理 3.4 方阵 PF，若满足 P2=P，则称 P 为幂等矩阵。具有如下性质：PH 和（I-P）仍为幂等矩阵；P 的特征值为 1 或者 0，而且 P 可相似于对角矩阵；F=

12、N(P)R(P)定理 3.5 设 A 的谱为，则 A 可对角化的充要条件是 A 有定理 3.6 设 A 是半正定的 Hermite 矩阵定理 3.7 A=UR定理 3.9 Schur 分解 UHAU=THermite 矩阵：AH=A 酉矩阵：AHA=AAH=IHermite 矩阵的特征值是实数，不同特征值的特征向量是正交的定义 3.3 若矩阵 A 满足 AHA=AAH，则称 A 是一个正规矩阵定理 3.10 A 是正规矩阵的充要条件是 A 酉相似对角矩阵定理 3.12 AHA，AAH的性质：1.r(A)=r(AHA)=r(AAH) 2.它们的非零特征值相 等定义 3.4 对于 A，r(A),矩

13、阵 AHA 的特征值都大于等于 0。称正数 i=为矩i阵 A 的奇异值，简称 A 的奇值定理 3.13 A 为正规矩阵时，A 的奇异值为 A 的非零特征值的模；A 为正定的 Hermite 矩阵时，A 的奇异值等于 A 的特征值；酉相似的矩阵有相同的奇异值定理 3.14 矩阵的奇异值分解定理 3.17 方阵的极分解第 4 章 矩阵的广义逆左可逆：BA=I，A 是左可逆；列满秩；AHA 可逆右可逆：AC=I，A 是右可逆；行满秩；AHA 可逆定理 4.3定理 4.4定义 4.2 AGA=A，则称 G 为 A 的一个减号广义逆定理 4.5定理 4.6 定理 4.7 定理 4.8 定义 4.3 MP

14、 逆（加号广义逆）：AGA=A GAG=G (AG)H=AG (GA)H=GA定理 4.9 若 MP 逆存在，则唯一定理 4.10 A+ = CH(CCH)-1(BBH)-1BH =定理 4.12 定义 4.4 定理 4.13 空间上线性变换 是投影变换的充要条件是 是幂等变换， 2=定义 4.5定理 4.14 线性变换 是正交投影变换的充要条件是关于某组基下的矩阵 A 为幂等的 Hermite 矩阵，即 A2=A,AH=A定义 4.6 最小二乘解定理 4.17 设 A，b，则 0=A+b 是线性方程组 Ax=b 的最佳最小二乘解第 5 章 矩阵分析向量范数： 矩阵范数： 诱导范数： 定义 5.11 设矩阵 A 的全部特征值 ，则称 （A）= max|i|为 A 的谱半径矩阵幂级数：定义 5.14 设 f(z)是复变量的解析函数，定理 5.13 一阶线性常系数齐次微分方程组定理 5.14 一阶线性常系数非齐次线性方程组 第 6 章 矩阵的 K 积与 H 积 定义 6.1 A定理 6.1 定理 6.2 定理 6.4 定理 6.5 定理 6.6定义 6.2定理 6.10