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1、学士学位学士学位论论文（文（设计设计） ）Bachelors Thesis论 文 题 目矩阵分解及其应用作者姓名张志敏学号2011111010156所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称袁永新 教授论文答辩时间2015 年 5 月 21 日编号2015110156研究类型理论研究 分类号O24 学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目： 矩阵分解及其应用外文题目： Matrix Decompositions and its Applications学生姓名张志敏学生学号2011111010156院系专业数学与应用数学学生班级1101学学 生生 承承 诺诺我承诺在学士学位论文（
2、设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：年 月 日指导教师承诺指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年 月 日目录1.前言 .12. 矩阵分解 .22.1 矩阵的三角分解.22.1.1 矩阵的三角分解基本概念
3、 .22.1.2 三角分解的应用 .72.2 矩阵的满秩分解 .152.2.1 矩阵的满秩分解基本概念.152.2.2 矩阵的满秩分解及其应用 .162.3 矩阵的谱分解 .192.3.1 矩阵的谱分解的基本概念 .192.3.2 矩阵谱分解的应用 .222.4 矩阵的奇异值分解 .232.4.1 矩阵的奇异值分解基本概念 .232.4.2 矩阵的奇异值分解的应用 .243参考文献 .27湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文（设计）1矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）摘 要：矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单
4、或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和。在线性代数中，借助于矩阵分解时常可用来解决各种复杂的问题。矩阵分解理论在统计学，结构动力学等专业领域也有重要的作用。本文介绍了矩阵的三角分解，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解和矩阵的奇异值分解以及它们的应用，并给出了求解这些分解的实例。关键词: 矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的谱分解； 矩阵的奇异值分解中国分类号：O24Matrix Decompositions and its ApplicationsZhang Zhimin（Tutor: Yuan Yongxin）(College of Mathematics and Statistics, Hubei
5、 Normal University, Huangshi, Hubei, 435002)Abstract: Matrix decomposition means that a matrix is expressed as product or sum of several matrices with simple structures or with special properties. In linear algebra, it can be used to solve the complicated problems. Matrix decomposition theory plays
6、an important role in statistics, structural dynamics and other professional fields. This article discusses the triangular decomposition of matrices, the full rank decomposition of matrices, spectral decomposition of matrices and the singular value decomposition of matrices. Some examples are provide
7、d to solve these matrix decompositions.Keywords: Triangular decomposition; Full rank decomposition; Spectral decomposition; Singular value decomposition湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文（设计）2矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）1.前言矩阵是数学研究中一类重要的工具，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及计算数学的发展起了重要作用。本文介绍了矩阵的三角分解
8、，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解及矩阵的奇异值分解。对于矩阵的三角分解，本文从证明矩阵的ALU的惟一性来求解矩阵的三角分解，最后将矩阵三角分解用于求解线性方程组A= LDU。Ax=b对于满秩分解，本文提出了求解满秩分解的多种方法，对于方阵可以用初等行变换和初等列变换来求解满秩分解，也可以将矩阵化为标准型然后加以求解，而Hermite对于一般矩阵只能将矩阵化为标准型来求解，矩阵的满秩分解用于求解矩阵的Hermite广义逆。对于矩阵的谱分解，本文介绍了矩阵的谱分解及其性质，并介绍了矩阵多项式的谱分解问题。对于矩阵的奇异值分解，本文介绍矩阵的奇异值分解，以及运用矩阵的奇异值来求解矩阵的 Moore-P
9、enrose 广义逆。湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文（设计）32.2. 矩阵分解2.1 矩阵的三角分解2.1.1 矩阵三角分解的基本概念定义 2.1 设,如果存在分别是下三角矩阵和上三角矩阵使得n nAR,n nL UR，则称可作三角分解。A= LUA定义 2.2 设n nAR1) 如果存在单位下三角矩阵，对角矩阵，单位上三角矩阵使得 LDU，则称为矩阵的分解。ALDUALDUALDU2) 如果存在下三角矩阵，单位上三角矩阵, 使得，则称此三角分解L%UALU%为矩阵的克劳特分解。A3) 如果存在上三角矩阵，单位下三角矩阵，使得，则称此三角分解 UL ALU为矩阵的杜利特
10、分解。A用消元法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵。若只用第 行乘Gaussi数加到第行型初等变换能把化为上三角矩阵，则有下三角型可逆矩阵，kjijAUP使，从而有分解。PAULU1AP ULU我们知道用定理得到的分解一般不是惟一的，下面讨论分解、GaussLULU分解的存在性和惟一性。LDU定理 2.1 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是,nA0kA 1,2,1knL这里为的阶顺序主子式。kAAk证明 必要性： 设非奇异矩阵有三角分解, 将其写成分块形式AALUk12k1221222122220=0kAALUU AALLU 这里，和分别为，和的阶顺序主子式。首先由知 ，kAkLkU
11、ALUk0A 0L ，从而，；因此。 0U 0kL 0kU=0kkkALU1,2,1knL湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文（设计）4充分性： 对阶数作数学归纳法， 当时, =（）=（1） （） （1） ，结n1n 1A11a11a论成立。 设对时结论成立，即，其中和分别是下三角矩阵和上三nkk=kkAL UkLkU角矩阵。若，则由=易知和可逆。现证当时结论也成立，k0A kAkLkUkLkU1nk事实上. -1 kkkk TT1T1-1 k+1,1k1,1kkkc0c=10ckk k+1T kkkkkkALULArar Uar UL 由归纳法原理知可作三角分解。A定理 2.
12、1 给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件, 由于不满足定0110A理 2.1 的条件，所以它不能作三角分解。但。1100001100 11211011202A上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理 2.1 的条件。定理 2.2 设，如果的顺序主子式(), rank( )()n n ijAaRAk knA则有分解。0,1,2, ,jjk LALU证明: 设为的阶主子矩阵，将分块为：11AAkA，11122122AAAAA则为可逆矩阵，且各阶主子式非 0，由定理 2.1 知有分解，其11A11ALU111111AL U中和均为可逆矩阵。11L11U又因为，在所设条件下，的前行线性无
13、关，后行是前行的线rank( )AkAk()nkk性组合，即存在，()n kkBR21112212,.ABAABA取，令与分别是下三角矩阵和上三角矩阵，满足11 212111121112,LA UUL A22L22U（例如取为对角阵，取） ，则可以得到下三角矩阵和上三角矩阵22220L U22L220UL如下：U湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文（设计）51111122122220,0LUULULLU注意 11 111211111212211121111121(),L ULL AAL UA U UA111 211222222111111211111212220L UL UA UL ABA A ABAA从而 ，1111111211122111211222222122L UL UAALUL UL UL UAA即,有分解。ALU
