《必修四⑥平面向量线性运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修四⑥平面向量线性运算（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量线性运算平面向量线性运算1 1、向量的有关概念及表示方法、向量的有关概念及表示方法（1 1）向量的有关概念）向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）零向量长度为 0 的向量；其方向是任意的记作0r单位向量长度等于 1 个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量平行向量双叫做共线向量与任一向量平行或共线0r相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为0r0r（2 2）向量的表示方法）向量的表示方法字母表示法，如：等；, a ABr uuu r几何表示法：用一条有向线段表示向量。2 2、向量的线性运算、向
2、量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：。abbarrrr（2）结合律：()()abcabcrrrrrr减法求与的相反向量arbr的和的运算叫做br与的差arbr数乘求实数 与向量的ar积的运算（1）.aarr（2）当 0 时，与ar的方向相同；当 0 时,ar与的方向相反；当arar=0 时, =ar0r()() ;aa rr();aaarrr()ababrrrr注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的2222|2(| )abababrrrrrr平方和等于它们四条边的平方和。3、向量与向量共线的充要条件为存在唯一一个实数，使(0)a a r r
3、rbr.barr注：用向量法证明三点 A、B、C 共线时，首先求出，然后证明，AB ACuuu r uuu r、ABACuuu ruuu r=即共线即可。ABACuuu ruuu r与方法提示：方法提示：数学中研究的向量是自由向量：两个向量只要它们的模相等、方向相同，它们就是相等向量，而与它们的起点在哪里没有关系。这就为我们应用向量带来方便，可以任意选取有向线段的起点，可以把向量自由平移。向量的线性运算规律：向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行。加法的三角形法 则关键是“首尾相接，指向终点” ，减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量” ， 用字母表示的向量进行线性运算时可以类比多项
4、式加法和数乘多项式进行。题型分析题型分析（一）向量的有关概念（一）向量的有关概念相关链接相关链接1、着重理解向量以下几个方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：（1）零向量的方向及与其他向量的关系；（2）单位向量的长度及方向。例题解析例题解析【例例 1 1】下列结论中，不正确的是 （ ）（A）向量，共线与向量/同义；ABuuu rCDuuu rABuuu rCDuuu r（B）若向量/，则向量与共线；ABuuu rCDuuu rABuuu rDCuuu r（C）若向量=，则向量=；ABuuu rC
5、Duuu rBAuu u rDCuuu r（D）只要向量，满足|=|，就有=。arbrarbrarbr解答：选 D。根据平行向量（或共线向量）定义知 A，B 均正确；根据向量相等的概念知 C 正确，D 不正确。【例 2】给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若则 ABCD 为平行四边形；,ABDCuuu ruuu r若/ / , / / ,ab bcacrr rrrr则；若。/ / , / / ,/ /ab bcacrr rrrr则其中正确命题的个数是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3思路解析：思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命
6、题只要举出一个反倒即可。解答：解答：选 B。错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。错，因为则可能 A、B、C、D 四点在一条直线上。正确。错，若，则对不共线,ABDCuuu ruuu r0b rr的向量与，也有/，/，但与不平行。arcrar0r0rcrarcr（二）向量的线性运算（二）向量的线性运算相关链接相关链接（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转
7、化为与已知向量有直接关系的向量求解。注：注：若 A 为 BC 的中点，则例题解析例题解析例例 11在 ABC 中，2,/ /DEN3ADAB DEBCACuuu ruuu r交于E, BC 边上的中线AM 交于。,BC DDN AMABa ACba bAEEANuuu rr uuu rrr ruuu r uuu r uuu r uuu r uuu u r uuu r用表示向量、思路解析思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如211,333ABAD DBABauuu ruuu r uuu ruuu rr在进行计算时要充分利用11.33BDABa uuu ruuu rrABC，
8、ADNABM 等条件。/ /DEBCADE 解答：解答：由 ADEABC，得，又 AM 是.BCACABbauuu ruuu ruuu rrr22()33DEBCbauuu ruuu rrrABC 的中线，DE/BC，且 AM 与 DE 交于点 N，得11().23DNDEbauuu ruuu rrr111()()222AMABBMaBCabaabuuuu ruuu ruuu u rruuu rrrrrr22在 OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC=BA，在 OB 上取点 D，使。DC 与 OA 交于 E，设1 3DBOBuuu ruuu r用表示向量及向量。,OAa OBbuu u rr
9、 uuu rr, a br rOCuuu rDCuuu r解答：解答：A 是 BC 的中点，即1()2OAOBOCuu u ruuu ruuu r22,OCOAOBabuuu ruu u ruuu rrr22522.333DCOCODOCOBabbabuuu ruuu ruuu ruuu ruuu rrrrrr（三）向量的共线问题（三）向量的共线问题例例设两个非零向量与不共线，arbr（1）若求证：A、B、D 三点共线；,28 ,3().ABab BCab CDabuuu rrr uuu rrr uuu rrr（2）试确定实数 k，使和共线kabrrakbrr思路解析：思路解析：（1）由已知求
10、判断和的关系判断 A、B、D 的关系；BDuuu rABuuu rBDuuu r（2）应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得 k 值。解答：解答：（1）,28 ,3().ABab BCab CDabuuu rrr uuu rrr uuu rrr283()28335()5BDBCCDabababababABuuu ruuu ruuu rrrrrrrrrrruuu r、共线，又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线ABuuu rBDuuu r（2）和共线，存在实数 ，使=（） ，即=kabrrakbrrkabrrakbrrkabrr。、是不共线的两个非零向量，akbrr()(1) .kakbrrarbr=，-1=0。=1。k1k2kk注：注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
