极限计算方法总结.doc

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1、1极限计算方法总结极限计算方法总结靳一东高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果一、极限定义、运算法则和一些结果1定义定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述） 。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；)0,(0lim abaanbn为常数且

2、；等等5) 13(lim2 x x 时当不存在，时当，1|1|0limqqqnn（2）在后面求极限时， （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不 需再用极限严格定义证明。 2极限运算法则极限运算法则定理定理 1 已知 ，都存在，极限值分别为 A，B，则下面极限都存在，)(limxf)(limxg且有 （1）BAxgxf)()(lim（2）BAxgxf)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需BBA xgxf说明说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3两个重要极限两个重要极限（1） 1sinlim 0 xxx（2） ； exxx

3、 10)1 (limexxx )11 (lim说明说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男， （1964） ，副教授。例如：，；等等。133sinlim 0 xxxexxx210)21 (limexxx 3)31 (lim4等价无穷小等价无穷小定理定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0） 。2定理定理 3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是 0） ，且相互等价，即有：0x 。xxsinxtanxarcsinxarctan)1ln(x1xe说明说明：当上面每个函数中的自变量x 换成时（） ，仍有上面的等价)(xg0)(xg

4、关系成立，例如：当时， ； 0x13xex3)1ln(2x。2x定理定理 4 如果函数都是时的无穷小，且)(),(),(),(11xgxfxgxf0xx )(xf，则当存在时，也存在且等于)(1xf)(xg)(1xg)()(lim110xgxfxx)()(lim0xgxfxx)(xf，即=。)()(lim110xgxfxx)()(lim0xgxfxx)()(lim110xgxfxx5洛比达法则洛比达法则定理定理 5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：)(xf)(xg（1）和的极限都是 0 或都是无穷大；)(xf)(xg（2）和都可导，且的导数不为 0；)(xf)(xg)

5、(xg（3）存在（或是无穷大） ；)()(limxgxf 则极限也一定存在，且等于，即= 。)()(limxgxf )()(limxgxf )()(limxgxf )()(limxgxf 说明说明：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条 不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完00 毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需 要注意条件。 6连续性连续性定理定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间0x

6、)(xf内的一点，则有 。)()(lim0 0xfxf xx 7极限存在准则极限存在准则定理定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。定理定理 8（准则 2） 已知为三个数列，且满足：,nnnzyx3（1） ), 3, 2, 1( ,Lnzxynnn（2） ，ay nn limaz nn lim则极限一定存在，且极限值也是 a ，即。 nnxlimax nn lim二、求极限方法举例二、求极限方法举例 1 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 1213lim 1xxx解：原式= 。43 )213)(1(33lim)213)(1(2)13(

7、lim 1221xxx xxxxx注：本题也可以用洛比达法则。注：本题也可以用洛比达法则。例 2 )12(limnnn n解：原式= 23 11213lim12)1()2(lim nnnnnnnnnn分子分母同除以。例 3 nnnnn323) 1(lim解：原式 。1 1)32(1)31( lim3 nnnn上下同除以2 利用函数的连续性（定理利用函数的连续性（定理 6）求极限）求极限例 4 xxex1 22lim 解：因为是函数的一个连续点，20xxexxf1 2)(所以 原式= 。ee4221 23 利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限例 5 203cos1limxxx4解：原式=

8、 。61)2(122sin2 lim32sin2 lim 220220 xxxxxx注：本题也可以用洛比达法则。注：本题也可以用洛比达法则。例 6 xxx20)sin31 (lim 解：原式= 。6sin6 sin310sin6 sin310)sin31(lim)sin31 (lim exxxx xxxx xx例 7 nnnn)12(lim解：原式= 。31331 13 31 )131(lim)131 (limennnnnnnnnn4 利用定理利用定理 2 求极限求极限例 8 xx x1sinlim20解：原式=0 （定理 2 的结果） 。 5 利用等价无穷小代换（定理利用等价无穷小代换（定理

9、 4）求极限）求极限例 9 )arctan()31ln(lim20xxxx解：，)31ln(0xx 时，Qx3)arctan(2x2x原式= 。33lim20xxxx例 10 xxeexxxsinlimsin0解：原式= 。1sin)sin(limsin) 1(limsin0sinsin0xxxxe xxeexxxxxx注：下面的解法是错误的注：下面的解法是错误的：原式= 。1sinsinlimsin) 1() 1(lim 0sin0xxxx xxeexxxx正如下面例题解法错误一样正如下面例题解法错误一样：。0limsintanlim3030xxx xxxxx5例 11 xxxxsin)1s

10、intan( lim20解：，等价与是无穷小，时，当xxxxxxx1sin)1sintan(1sin0222Q所以， 原式= 。 （最后一步用到定理 2）01sinlim1sin lim 020 xxxxxxx6 利用洛比达法则求极限利用洛比达法则求极限 说明说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小 代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例 12 （例 4）203cos1limxxx解：原式= 。 （最后一步用到了重要极限）61 6sinlim 0 xxx例 13 12cos lim 1xxx解：原式= 。212sin2lim 1xx例 14 30sinl

11、imxxxx解：原式= 。 （连续用洛比达法则，最后用重要极限）203cos1limxxx61 6sinlim 0 xxx例 15 xxxxxxsincossinlim20解：31 3sinlim3)sin(coscoslimcossinlim202020xxxxxxxx xxxxxxxx原式6例 18 )1ln(11lim 0xxx 解：错误解法错误解法：原式= 。011lim 0 xxx正确解法：正确解法：。原式21 )1 (2lim2111lim)1ln(lim)1ln()1ln(lim0000xxx xxxxxx xxxxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例应该注意，洛比

12、达法则并不是总可以用，如下例。例 19 xxxxxcos3sin2lim解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极00 xxxsin3cos21lim限 不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以 x）xxxxxcos3sin21 lim = （利用定理 1 和定理 2）317 利用极限存在准则求极限利用极限存在准则求极限例 20 已知，求), 2, 1(,2,211Lnxxxnnnnx lim解：易证：数列单调递增，且有界（02） ，由准则 1 极限存在，nxnxnnx lim设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：axn n limnnxx21，解得：或（不合题意，舍去）aa22a1a所以 。2lim nnx例 21 )12111(lim 222nnnnn L解： 易见： 11211122222 nnnnnnnnnL7因为 ，1lim 2 nnnn1 1lim 2 nnn所以由准则 2 得： 。1)12111(lim 222 nnnnnL上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活 多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做 ，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由 于不常用，这里不作介绍。