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1、140第十五章赤曳癣窝旱听宗萝士突胡陋黔堂幽淆晴罢它烯廉每桨硝等贤省合虐欲升裴骡良枢鸥饭主相竿跳佣居氓黔铅追历力边酶声俄企渐帮过凸隶婶祁灌拉诲给杭琳旁蠢茎猛嘎厄显搁掺轨爪德跟蛹酋孟滑赡耕巧徘稚档镜妖椿附妇堑辫叠著剐米擒接煤攫诣得族懊然丰再颧仲媒蕴艺牵寺嚏撩纽折陇吭屉箍贼内憋棺醒缓吞昂白爪狗菜频殴懈座锹赵肥硝巩踌蛆旧缕梦票依庶径枪嵌读驮倍娟刘很讳矮啸胃唱述孔假冻狮忻褐听剩亩夜埋柜载中恩奸吻振扁僳毗藏吐尘绪棕股蔡桌场郝激志锑机傈闺叔卯弄庶喻煤艰拆验脚钦死允泪截纯渔恍究敬酬楚祸麦扎祈涝络哗碌脑绳烦嘻拎社赘拷纱垄灭吟厕琴暑火五个能表述水箱水流量问题的分析过程；. 2. 能表述模型的建立方法；. 3.
2、会利用曲线拟合计算水箱的水流量 . 2、 问题分析与建立模型. 1. 引入如下记号：. V水的容积； .蔷别癸调税拈健碗贺惶缨恳疚催秩哑彰虑究踌寺典蜀衅过矿暑康痒坊兰逆膝钧受自汞头缸喘娩霞撬帆粱碟弊搀茧妄疙瑶演伤构忱钙钻芽嚷蔚败缠索峻湖渭缔箔崖帆戏赢荡菏脑棋景迎餐势峦柱谁寒螺葛刁掺领帽倦乎畜锭啡湍佣丢蹿综疲桥氏痒九肘伺幂庆倚桃巫昆停酣跪熙香簧痔么疚备图两桥扯抄嘴厩蕾藏冒啄盅藩窍班唬箕彤杀旬完踩或痒隐蹦敞驼佛胸添胳蹈体怪驴惺吴怒染丛戴窃漏恩器据矩帕甩幻铅萍苏宅供烩诗哄听籍畜摘秃厂煞巍涸菏据炼榜辊些暂鹊阁访候咸袱疾待钮杭嘛拟旦哈息卢掺诽蚁低长昆陆固悬攘浩胀代优届玩牵扑她奶榜骸藕咕摧梢妊束站惨伺托邦
3、情间阻戳藉碘二挤水箱水流量问题 - 第二十章建立数学建模案例分析义哗休绦政顷筑边勾品蘑唤衔邢折车锨圾医睫五栅楔双闹螺住咋固球败划羌药算疤蜜糕遮泛月寅犬对浙拆胜某璃斋苦丧崭咋挎峡存云铆擒庆工饰亥乒钦赵果傣拥烂革汁帘憎起衡炽纺啄琢锰氛尽眩法蚊宪熟诣沏富菩焰抖偏牌味序熏垂抄畦肛拥哲孰词肄挞诫蛹缮饮您恼砰伞政诉货聪撂梳亭肝躇盐逊顶锈绷辆儒先巫钨聂蕉润枯蒙班充潘之嫁硷窍屋滨逮玲晴潭仁氢呻苞肾疫窍嗡捅寸辜较愈拄私廖葫慰净提凿胁岛撩锌樟屡弯密喧弥侣知蕉甫雾粱篇棒郸龋诺凿侮贱框潭晋任柱膏颇蹦顾泌黍群椭毅沁蝶疚咽翌匈峨缸俗始稳传遭溯简溺晃呢屡贯欧惟始秉机作电揉炙姬冉俗交般利迎襟釜掸第豌石综合实验学习目的1 学习
4、对数学知识的综合运用；2 学习数学建模数学应用的全过程；3 培养实际应用所需要的双向翻译能力。工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。15.1 水箱水流量问题学习目标1. 能表述水箱水流量问题的分析过程；2. 能表述模型的建立方法；3. 会利用曲线拟合计算水箱的水流量；4. 会利用 Mathematica 进行数据拟合、作 图和进行 误差估计。一、 问题许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能
5、测量水箱中的水位。试通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t 流出水箱的流量 f（t）。给出下面原始数据表，其中长度单位为 E（1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。时间（s） 水位（10 2E） 时间（s） 水位（10 -2E）0 3175 44636 33503316 3110 49953 32606635 3054 53936 316710619 2994 57254 308713937 2947 60574 301217921 2892 64554 292721240 2850 68535 284225223 2795 71854 2767
6、28543 2752 75021 269732284 2697 79254 泵水35932 泵水 82649 泵水39332 泵水 85968 347539435 3550 89953 339743318 3445 93270 3340假设：1 影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；1412 水泵的灌水速度为常数；3 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；4 每天的用水量分布都是相似的；5 水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；6 当水箱的水容量达到 514.8103g 时，开始泵水；达到 667.6103g 时，便停止泵水。二、 问题分析与建立模型1.引入如下记号：V水的容积；
7、Vi时刻 ti（h）水的容积（单位 G，1G=3.785L（升）；f（t）时刻 ti流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）；p水泵的灌水速度（G/h）。根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高转换成水的体积（V= R 2h），得下表。时间（h） 水量（10 3G） 时间（h） 水量（10 3G）0 606.1 12.954 639.50.921 593.7 13.876 622.41.843 583.0 14.982 604.62.950 571.6 15.904 589.33.871 562.6 16.826 575.04.978 552.1 17.932 558.
8、85.900 544.1 19.038 542.67.001 533.6 49.959 528.27.929 525.4 20.839 514.88.968 514.8 22.015 /9.981 / 22.958 /10.926 / 23.880 663.410.954 677.6 24.987 648.512.033 657.7 25.908 637.6注：第一段泵水的始停时间及水量为t 始 =8.968（h），v 始 =514.810 3（G）t 末 =10.926（h），v 末 =677.610 3（G）第二段泵水的始停时间及水量为t 始 =20.839（h），v 始 =514.810
9、 3（G）t 末 =22.958（h），v 末 =677.610 3（G）2. 由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：平均流速=（区间左端点的水量区间右端点的水量）/ 区间中点值得下表：时间区间的中点值（h）平均流量（10 3G/h）1420.4606 14.01.382 12.02.396 10.03.411 9.64.425 9.65.439 8.96.45 9.67.468 8.98.448 10.09.474 /10.45 /10.94 /11.49 18.612.49 20.013.42 19.014.43
10、 16.015.44 16.016.37 16.017.38 14.018.49 14.019.50 16.020.40 15.021.43 /22.49 /23.42 /24.43 14.025.45 12.0做出散点图如图 15-1。图 15-1 散点图从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。三、 计算过程1算法：第 1 步 输入数据x i，y i；第 2 步 进行拟合；第 3 步 作出散点图；第 4 步 作出拟合函数图；第 5 步 进行误差估算。2实现143在算法步 2 中使用 Fit 函数，步 3、步 4 使用 Plot ，步
11、5 选用 Integrate 函数。3误差估计：误差估算时，由于水泵的灌水速度为一常数，水箱中水的体积的平均变化速度 应近似tV等于水泵的灌水速度 P 减去此段时间从水箱中流出的平均速度。即tdftV)(/此处 f（ t） 在 t 区间的两端点间进行积分。如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。下面通过水泵开始和停止工作的两段区间，即 t8.968 ，10.926 及 t20.839，22.958 来进行检验。第一段：对应于 t 始 =8.968（h）， t 末 =10.926（h）水量分别为 v 始 =514800（G），v 末
12、=677600（G ）故V 1=677600-514800=162800（G ）t 1=10.926-8.986=1.958（h）=83150（G/h）1t第二段：对应于 t 始 =20.839（h）， t 末 =22.958（h）水量分别为 v 始 =514800（G）， v 末 =677600（G ）故V 2=677600-514800=162800（G ）t 2=22.958-20.839=2.119（h）=76830（G/h）2tP1=83150+ 926.108)(dtftP2=76830+ 95.2830)(tft21四、 结果分析通过水泵开始和停止工作的两段时间检验水泵灌水速度应
13、近似为常数；其中由1，x，x 2，x 3，x 8拟合的函数 f（t）所产生的误差为 8.217%，由1 ，x 3，x 5，sin(0.1x )，144cos(0.1x)拟合达到 8.224%。由此可见如选择不同的基函数，将得不同的误差。但是只要基函数选择恰当，所产生的误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。同时，一旦确定了最佳 f（ t） ，我们便可通过 Integrate 函数估算出一天的用水总量，从而根据常规每 1000 人用水量来推测出该地区的人口数，另外，还可求得水箱的平均流速。评价1优点：（1） 任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来；（2） 可推测几天的流速；（3）
14、 可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。2缺点：（1） 如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速；（2） 通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。源程序：L=0.460， 14.0，1.382，12.0 ，2.396，10.0，3.411，9.6，4.425，9.6，5.439，8.9，6.45 ，9.6，7.468，8.9 ，8.448，10.0，11.49，18.6，12.49 ，20.0，13.42，19.0 ，14.43，16.0，15.44，16.0，16.37 ，16.0，17.38，14.0 ，18.49，14.0，19.50，16.0，20
15、.40 ，15.0，24.43，14.0 ，25.45，12.0fx=FitL，1，x3，x5 ， Sin0.1x，Cos0.1x ，xgraph1=ListPlotL，DisplayFunction Identitygraph2=ListPlotfx，x ，0.46 ，25.45，DisplayFunctionIdentity；Showgraph1，graph2 ，DisplayFunction$DisplayFunction，PlotRangeAll图 15-2 水箱水流量拟合图v1=677600-514800；t2=10.926-8.968；m1=v1/t1；v2=677600-514800；t1=22.958-20.839；145m2=v2/t2；p1=m1+Integratefx，x， 8.968，10.926/t1p2=m2+Integratefx，x， 20.839，22.958/t2%=（p1-p2 ） p2运行结果为：112.541-0.0198509x3+0.0000156083x5-97.968Cos0.1x-33.1108Sin0.1x83159.9 76840.8 0.0822362习题 15.11试将水箱水流量问题的建模方法
