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1、1第十二讲第十二讲 满秩分解与奇异值分解满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设定义：设，若存在矩阵，若存在矩阵及及，使得，使得m n rAC(r0) m r rFC r n rGC ，则称其为，则称其为的一个满秩分解。的一个满秩分解。AFG A说明：（说明：（1）为列满秩矩阵，即列数等于秩；为列满秩矩阵，即列数等于秩；为行满秩矩阵，即为行满秩矩阵，即FG行数等于秩。行数等于秩。（2）满秩分解不唯一。）满秩分解不唯一。（ 阶可逆方阵）阶可逆方阵） ，则，则r r rDC r，且，且11 11AFGF(DD )G(FD)(D G)FG m rr n 1r1rFC,G
2、C 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。设证明：采用构造性证明方法。设，则存在初等变换矩，则存在初等变换矩m n rAC 阵阵，m m mEC 使使 ， 其中其中Gr EAB. O(mr) 行行行行r n rGC 将将写成写成，并把，并把分块成分块成，其中，其中A1AE B 1E 1r(m r)EF|S 列列列列m r rFC 是满秩分解。是满秩分解。.G AF.S.FG .O 3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）标准形（行阶梯标准形）设设，且满足，且满足m n rBC(r0) （1）的前的前 行中每一行至少含一个
3、非零元素（称为非零行）行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行） ，Br2且第一个非零元素为且第一个非零元素为 1，而后，而后行的元素全为零（称行的元素全为零（称(mr) 为零行）为零行） ；（2）若若中第中第 行的第一个非零元素（即行的第一个非零元素（即 1）在第）在第 列列Biij，则，则(i1,2,.,r) ;12rjj.j （3）矩阵矩阵的第的第列，第列，第列，列，,第第列合起来恰为列合起来恰为阶单位阶单位B1j2jrjm方阵方阵的前的前 列（即列（即列上除了前述的列上除了前述的 1 外全为外全为mIr12rj ,j ,.,j0）则称）则称为为 Hermite 标准形。标准形。B例例
4、1 为为 Hermite 标准形标准形5 6 135 6120013 001022 BC000111000000 000000 也是也是 Hermite 标准形标准形4 5 224 500102 00013BC00000 00000 4. 满秩分解的一种求法满秩分解的一种求法设设，m n rAC （1）采用行初等变换将采用行初等变换将化成化成 Hermite 标准形，其矩阵形式为标准形，其矩阵形式为A，其中，其中为为 Hermite 标准形定义中给出的形状；标准形定义中给出的形状；EAB B（2）选取置换矩阵选取置换矩阵的第的第 列为列为，即该列向量除第，即该列向量除第 个元素为个元素为 1
5、外，其外，其1o oPi ijeij余元素全为零余元素全为零,其中其中 为为 Hermite 标准形中每标准形中每(i1,2,.,r) ij3行第一个非零元素（即行第一个非零元素（即 1）所在的列数；）所在的列数；其它其它列只需确保列只需确保为置换矩阵即可（为置换矩阵即可（的每一行，的每一行，2o o(nr) PP每一列均只有一个非零元素，且为每一列均只有一个非零元素，且为 1） ；用用右乘任何矩阵（可乘性得到满足时）右乘任何矩阵（可乘性得到满足时） ，即可将该，即可将该3o oP矩阵的第矩阵的第 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第 列列iji令令，即，即4o o
6、 1 r(n r)PP|* 列列列列12rn r 1jjjrn rPee .eC （3）令）令的前的前 行行，则则GB rr n nC m r 1rFAPC AFG 证明：证明：，则则，GEABO 1GAE BF|SFGO m r rFC ，已知，但已知，但，当然可以通过求出，当然可以通过求出再将再将分块分块r n rGC GF? 1E,E 1E 得到，但这样得到，但这样就没必要采用就没必要采用 Hermite 标准形形式，注意到标准形形式，注意到G，则，则 证毕证毕r 1IBPO 1r 11IAPE BPF|SFO 例例 2 求其满秩分解求其满秩分解1230 A0211 1021 解：（解：
7、（1）首先求出）首先求出的秩。显然，前两行互相独立，而第三行可由的秩。显然，前两行互相独立，而第三行可由A第一行减去第二行得到，故第一行减去第二行得到，故。r2 (2)进行初等变换将进行初等变换将化为化为 Hermite 标准型。标准型。A 31230.100 A|I0211.010 1021.001 (3)(1)(2) 41230.100 0211.010 0000.111 (1)(2) 1021.110 0211.010 0000.111 (2)/2 ， 1021.110 011/21/2.01/20 0000.111 即即, ,110 E01/20 111 1021 B011/21/2
8、0000 1021G011/21/2 (3)求出求出及及1P1AP由由可见可见，故故， B12j1,j2 110 01P00 00 112 FAP02 10 验证：验证：1212301021FG020211011/21/2101021 而而1120 E020 101 二、酉对角分解与奇异值分解二、酉对角分解与奇异值分解1. 厄米矩阵的谱分解厄米矩阵的谱分解5为厄米矩阵，则存在酉矩阵为厄米矩阵，则存在酉矩阵，使，使AU12HnOU AUO O O将将写成列向量形式，即写成列向量形式，即，则，则U 12nUuu.u H 11 H 22n HH 12niii i 1H nnuO uAU Uuu.u.
9、u u. . uO 2. 非奇异矩阵的酉对角分解非奇异矩阵的酉对角分解定理：设定理：设为为 阶非奇异矩阵，则存在阶非奇异矩阵，则存在 阶酉矩阵阶酉矩阵及及，使得，使得AnnUVH12nOU AV,. O i0(i1,2,.,n) （若将（若将写成写成，U,V 12n12nUuu.u,Vvv.v 则则）n n iii i 1Au v 证：证：也为也为 阶非奇异矩阵，而且是厄米、正定矩阵，故存在阶非奇异矩阵，而且是厄米、正定矩阵，故存在HA An6阶酉矩阵阶酉矩阵，使，使 为为nV2 1 2 2 HH2 nOV (A A)V. O 2 i 的特征值。的特征值。HA A令令 ，则，则 12nO. .
10、 O 2HHV A AV 令令，则，则11HHHUV A ,UAV 11HHH nU U(V A AV)I 即即也是酉矩阵，而且也是酉矩阵，而且 证毕证毕U1HHHU AVV A AV 酉对角分解的求法正如证明中所给：先对酉对角分解的求法正如证明中所给：先对对角化（酉对对角化（酉对HA A角化）角化） ，求出变换矩阵，求出变换矩阵，再令，再令即可。即可。V1UAV 3. 一般矩阵的奇异值分解一般矩阵的奇异值分解定理：设定理：设，则存在，则存在阶酉矩阵阶酉矩阵及及 阶酉矩阵阶酉矩阵，使，使m n rAC mUnV即即12Hr0 O rU AV0 OO(mr)r(nr) O O行行行行列列列列712 HrOAUV.OO 证：首先考虑证：首先考虑。因为。因为，故，故HA AHHrank(A A)rank(AA )rankA ，Hn n rA AC 而且是厄米、半正定的，存在而且是厄米、半正定的，存在 阶酉矩阵阶酉矩阵，使，使nV2 1 2 2 HH2 rn nOV (A A)V.OO 令令， 则
