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1、4 定积分的性质教学目的与要求： 1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法. 2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点： 1. 定积分的性质极其证明方法. 2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容：一 定积分的基本性质性质 1 若 f 在a,b上可积，k 为常数，则 kf 在a,b上也可积，且. （1） bbkf x dxkf x dxaa证 当 k=0 时结纶显然成立.当 k时,由于0 11.,nniiii iikfxkJkfxJ其中 J=因此当 f 在a,b上可积时,由定义,任给 ,dfab0,0,T存在当时 1,nii ifxJk从而 1.nii
2、 ikfxkJ即 kf 在a,b上可积，且 .bbkf x dxkJkf x dxaa性质 若 fg 都在a,b可积，则 f在a,b上也可积，且g（2） .bbbf xg xdxf x dxg x dxaaa证明与性质类同。 注 1 性质与性质是定积分的线性性质，合起来即为 ,bbbaf xg xdxaf x dxg x dxaaa其中 a为常数。注 2 在 f，g，h=f+g(或 f-g)三个函数中，只要有任意两个在a,b上可积，则另外一个在a,b 上可积. 在 f，g，h=f+g(或 f-g)三个函数中，只要有一个在a,b上可积，一个在a,b上不可积， 则另外一个在a,b上必不可积. 性质
3、 若 fg 都在a,b上可积，则 fg 在a,b上也可积。 证 由 f、g 都在a,b上可积，从而都有界，设 ,supa bf x ,supa bg x且，（否则 f、g 中至少有一个恒为零值函数，于是 f、g 亦为零值函数，结论显然成立） 。任给由 f、g 可积，必分别存在分割、，使得0,T“T,2f ii TxB “.2g ii TxA令（表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割 T） 。对于a,b上 T 所属的每一“ TTTTT 个，有i gfgfigfsup,. ,supigfffgg g.g if iAB利用3 习题第 1 题，可知. f gfg iiiii TTABAfg iii
4、i TTBA,22BABA这就证得 fg 在a,b上可积.注 在一般情形下. dxgabdxfabdxgfab思考：有没有相除后可积的性质？若 fg 都在a,b上可积，|f(x)|m0,xa,b,则在a,b上可积.g f事实上，由条件可证在a,b上可积(本节习题第 7 题).再由性质 3 知在a,b上可积.1 f1ggff性质 4 f 在a,b上可积的充要条件是：任给，在a,c与c,b 上都可积。此时又有 , ca b等式（3） bcbf x dxf x dxf x dxaac证 充分性 由于 f 在a,c与c,b上都可积，故任给分别存在对a,c与c,b的分割0,，使得“TT 与,2ii T
5、“.2ii T现令它是a,b的一个分割,且有, “ TTT“.iiiiii TTT由此证得 f 在a,b上可积.必要性 已知 f 在a,b上可积,故任给存在对a,b的某分割 T,使得0,在 T 上再增加一个分点 C,得到一个新的分割由3 习题第一题,又有.i T .T.iiii TT分割在a,c和c,b上的部分,分别构成对a,c和c,b的分割,记为,则有T“TT 和,iiii TT“iiii TT这就证得 f 在a,b和b,c上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对a,b作分割 T,恒使点 C 为其中的一个分点,这时 T 在a,c与c,b上的部分各自构成对a,c与c,b的分
6、割,分别记为.由于TT 与 ,iiiiii TTTfff因此当时,对上式取极限,就得到(3)式成立.0,0,“0TTT同时有注 性质 4 及公式(3)称为关于积分区间的可加性. .当时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的 0f x 可加性.如图 9 10 所示,曲边梯形 AabB 的面积等于 曲边梯形 AacC 的面积与 CcbB 的面积之和.按定积分的定义,记号只有当 ab 时才 bf x dxa有意义,而当 a=b 或 ab 时本来是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定:规定 1 当 a=b 时，令aadxxf; 0)(规定 2 当 ab 时，令baabdxxfdxxf.)()
7、(有了这个规定之后，等式（3）对于 a、b、c 的任何大小顺序都能成立。例如，当 abc 时， 只要f在a，c上可积，则有cabccbbacbdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()(=badxxf.)(性质 5 设f为a，b上的可积函数。若则, 0)(baxxf（4）badxxf. 0)(证 由于在a，b上，因此f的任一积分和都为非负。由f在a，b上可积，则有 0f baniii Txfdxxf10. 0)()(lim推论（积分不等式性）若f与 g 为a，b上的两个可积函数，且a，b，则),()(xgxfx有（5）babadxxgdxxf.)()(证 令 Fa，b，由性质
8、2 知道 F 在a，b上可积，且由性质 5 推得xxfxgx, 0)()()(0( )( )( ),bbbaaaF x dxg x dxf x dx不等式（5）得证.性质 6 若f在a，b上可积，则在a，b上也可积， ，且f（6）babadxxfdxxf.)()(证 由于f在a，b上可积，故任给 0，存在某分割 T，使得由绝对值不等.f ii Tx式可得知于是有, )()()()(xfxfxfxf ,f if i.ff iiii TTxx从而证得在a,b可积。f再由不等式应用性质 5（推论） ，即证得不等式（6）成立。 ,f xf xf x注 这个性质的逆命题一般不成立，例如为无理数为有理数x
9、xxf, 1, 1(在0，1上不可积（类似于狄利克雷函数） ；但它在0，1上可积。, 1)(xf例 1 求其中11,)(dxxf21, 10,( ),01.xxxf xex 解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即110110)()()(dxxfdxxfdxxf).1(1201)(10)() 12(1120110eeexxdxedxxxx注 1 上述解法中取其中被积函数在 x=0 处的值已由原来的0101,) 12()(dxxdxxf由3 习题第 3 题知道这一改动并不影响f在-1，0, 10) 12(10)0( xxxefx改为上的可积性和定积分的值。注 2 如果要求直接在
10、-1，1上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算这11) , 1() 1 ()(FFdxxf时 F（x）应取怎样的函数？读者可对照2 习题第 3 题来回答。例 2 证明：若f在a,b上连续，且babaxxfdxxfxf., 0)(, 0)(, 0)(则证 用反证法。倘若有某 x0a,b使 f则由连续函数的局部保号性，存在的某邻 00,x0域，使在其中时则为右邻域或左邻域或bxa0000,由性质 4 和性质 5 推知 00.2ff x dxfbdxfdxfadxfab000000 0 0000,2xfdxf这与假设相矛盾。所以 。 0dxfab ., 0baxxf注注 从此例证明中看到，即使 f 为一非负
11、可积函数，只要它在某一点处连续，且0x则必有（至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参 00,f x 0.bf x dxa阅6 习题第 7 题.） 二 积分中值定理定理 9.7 （积分中第一中定理） 若 f 在a,b上连续，则至少存在一点，使得,ba（7） .abfdxxfab证 由于 f 在a,b上连续，因此存在最大值 M 和最小值 m.由,使用积 ,baxMxfm分不等式性质得到 或 ,abMdxxfababm .1Mdxxfababm再由连续函数的介值性，至少存在一点使得,ba,)(1)(dxxfabfba这就证得（7）式成立。 积分第一中值定理的几何意义：如图 9 11
12、 所示，若f 在 a,b上非负连续，则 y=f()在a,b上的曲边梯形面积等于以（）所示的为高，a,b为底的矩形面积。而 7 f dxxfabab1则可理解为在区间a,b上所有函数值的平均值。这 xf是通 常有限个数的算术平均值的推广。 注 把定理中 f 在a,b上连续，减弱为 f 在a,b上 可积.定理结论为：若 f 在a,b上可积， 则存在 使 , inf( ), xa bmf x , sup( ), xa bMf x (),mM.( )()baf x dxba事实上，由，有 从而有( )mf xM , xa b ,abMdxxfababm ,bf x dxamMba令，则 且. bf x dxa ba ,mM( )()baf x dxba性质 7 中的 f()与这里的都可看作函数在区间a,b上所有函数值的平均值。 xf例 3 试求在0，上的平均值。 sinxfx解 所求平均值为 0.2 0cos1sin1)(xxdxf定理 9.8（推广的积分第一中值定理）若 f 与 g 都在a,b上连续，且 g(x)在a,b上不变号，则 至少存在一点 a,b，使得（8）babadxxgfdxxgxf.)()
