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1、DCBAEDFCBA几何辅助线作法小结几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定
2、理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一）、倍长中线（线段）造全等（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上
3、，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.EDCBA3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA中考应用以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt和等腰 Rt，ABCABDACE连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究：AM 与 DE 的位90 ,BADCAE 置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ，ABC线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 Rt绕点 A 沿逆时针方向旋转(0ADEDCBA（四）、借助角平分线造全等（四）、借助角平分线造全等1：如图，
4、已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2：如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分BC，FEDCBADEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求abAE、BE 的长.中考应用如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系
5、；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（五）、旋转（五）、旋转1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.EDGFCBA(第 23 题图)OPAMNEBCDFACE FBD图图图NMEFACBA2：D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC（1）当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。3.如图，是边长为 3 的
6、等边三角形，是等腰三角形，且，ABCBDC0120BDC以 D 为顶点做一个角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则060的周长为 ；AMNBCDNMA中考应用1、已知四边形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC o，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于60MBN oMBNBADDC，EF，当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否MBNBAECF成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？AECF，EF（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCD
7、EFMN（图 3）ABCDEFMN2、已知:PA=,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.2(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为外一点，ABCABCV且,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BDCBM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的周长 L 的关系AMNABC图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB
8、、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=，则 Q= （用、L 表示） xx圆中作辅助线的常用方法圆中作辅助线的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径
9、端点得到 90度的角或直角三角形。（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图 1，圆 O 中，BDOA 于 D，经常是：如图 1（上）延长 BD 交圆于 C，利用垂径定理。如图 1（下）延长 AO 交圆于 E，连结 BE，BA，得 RtABE。图 1（上） 图 1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切） ，往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或
10、构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。例题 1：如图，在圆 O 中，B 为的中点，BD 为 AB 的延长线，ACBO1POAB=500，求CBD 的度数。例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P，求证：APD 的度数=（弧 AD+21弧 BC）的度数。 一、造直角三角形法一、造直角三角形法1.构成 Rt,常连接半径例 1. 过O 内一点 M ,最长弦 AB = 26cm,最短弦 CD = 10cm ,求 AM 长
11、;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例 2. AB 是O 的直径,AC 切O 于 A,CB 交O 于 D,过 D 作O 的切线,交AC 于 E. 求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例 3 .割线 AB 交O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切O 于 E,BF 切O 于 F.求证:OAE = OBF;4.遇有公切线,常构造 Rt(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例 4 .小 O1与大O2外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和O1、O2切于点 B、C 和D、E，并相交于 P，P = 60。求证：O1与O2的半径之比为 1：3；5正多边形相关计算常构
12、造 Rt例 5.O 的半径为 6,求其内接正方形 ABCD 与内接正六边形 AEFCGH 的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例 6. AB 是O 的直径,CD 是弦,AECD 于 E,BFCD 于 F.(1)求证:EC = DF;(2)若 AE = 2,CD=BF=6,求O 的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例 7. AB 是O 直径,弦 CDAB,M 是上一点,AM 延长线交 DC 延长线于 F.AC求证: F = ACM;四、切线的综合运用四、切线的综合运用1已知过圆上的点，常_例
13、 8.如图， 已知：O1与O2外切于 P，AC 是过 P 点的割线交O1于 A，交O2于C，过点 O1的直线 AB BC 于 B.求证： BC 与O2相切. 例 9.如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF 交O 于 E，过 E 点作直线与 AF 垂直交 AF延长线于 D 点，且交 AB 于 C 点求证：CD 与O 相切于点 E2.两个条件都没有,常_例 10. 如图，AB 是半圆的直径， AMMN，BNMN，如果 AM+BNAB，求证: 直线MN 与半圆相切；例 11.等腰ABC 中,AB=AC,以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点. 求证:AC 与D相切;例 12菱形 ABC
14、D 两对角线交于点 O，O 与 AB 相切。求证：O 也与其他三边都相切；五、两圆相关题型五、两圆相关题型1两圆相交作_例 13.O1与O2相交于 A、B，过 A 点作直线交O1于 C 点、交O2于 D 点，过 B 点作直线交O1于 E 点、交O2于 F 点. 求证:CEDF;2.相切两圆作_例 14. O1与O2外切于点 P,过 P 点的直线分别交O1与O2于 A、B 两点，AC 切O1于 A 点，BC 交O2于 D 点。 求证：BAC = BDP；3两圆或三圆相切作_例 15.以 AB=6 为直径作半O,再分别以 OA、OB 为直径在半O 内作半O1与半O2，又O3与三个半圆两两相切。求O
15、3的半径；4一圆过另一圆的圆心，作_例 16.两个等圆O1与O2相交于 A、B 两点，且O1过点 O2，过 B 点作直线交O1于C 点、交O2于 D 点. 求证：ACD 是等边三角形；六、开放性题目六、开放性题目例 17已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线ABCABOeACDD平分边DEBC（1）与是否相切？请说明理由；BCOeCEBOAD（2）当满足什么条件时，以点，为顶点的四边形是平行四边形？ABCOBED并说明理由四边形辅助线做法四边形辅助线做法一、和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形利用一组对边平行且相等构造平行四边形例 1 如图 1，已知点 O 是
