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1、4 具有某些特性的函数具有某些特性的函数教学内容教学内容：有界函数，单调函数，奇、偶函数与周期函数。 教学目的教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语；深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇、偶 函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。 教学重点教学重点：函数的有界性、单调性。 教学难点教学难点：周期函数周期的计算、验证。 教学方法教学方法：讲授为主，结合学时自学。 教学学时教学学时：2 学时。 引言引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周 期函数。其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地回顾一下。一、有界函数
2、：一、有界函数：有上界函数、有下界函数的定义：定义定义 设为定义在上的函数，若存在数，使得对每一个有，f( )M LxD( )( ( )f xM f xL则称为上的有上（下）界函数，称为在上的一个上（下）界。f( )M Lf注：（）在上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；（）又若f()f D为在上的一个上（下） 界，则任何大于（小于）的数也是在上的上（下）界。所( )M Lff以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的。如：，是其一个上界，下界为，则易sinyx见任何小于的数都可作为其下界；任何大于的数都可作为其上界；（3）函数在上无上（下）f界：对任一，都存在，使得。)(RLRM
3、Dx 0 0)(Mxf)( 0Lxf2有界函数定义：定义定义 设为定义在上的函数。若存在正数，使得对每一个有，则称为fxD|( )|f xMf上的有界函数。注：（）几何意义：为上的有界函数，则的图象完全落在和之间；（）ffyMyM 在上有界在上既有上界又有下界；例子：；（3）函数在上无界：f fsin ,cosyx yxf对任一,都存在，使得。0MDx 0 0)(Mxf例例 证明：为上的无上界函数。1( )f xx(0,1证：证： 对任何正数，取上的一点，则有，故M(0,1110MxMMxxf11)(00按上述定义，为上的无上界函数。f(0,1例例 设为上的有界函数。证明：, f g（1）；i
4、nf( )inf( )inf( )( ) x Dx Dx Df xg xf xg x （2）.sup( )( )sup( )sup ( ) x Dx Dx Df xg xf xg x 证：证： （1）对任何有 ，Dx)()(infxfxf Dx )()(infxgxg Dx )(infxf Dx)()()(infxgxfxg Dx 上式表明，数是函数在上的一个下界，从而)(infxf Dx)(infxg Dxgf Dinf( )inf( )inf( )( ) x Dx Dx Df xg xf xg x （2）可类似于（1）证之。二、二、单调函数单调函数 ：1单调函数的定义：定义定义 设为定义在
5、上的函数， （）若，则称为上的f1212,x xD xx12()()f xf xf增函数；若，则称为上的严格增函数。 （）若，则称为上的减函数；12()()f xf xf12()()f xf xf若，则称为上的严格减函数。12()()f xf xf例例 证明：在上是严格增函数。3yx(,) 证：证： ，设，则即，),(,21xx21xx 043)2()(2 121 2123 13 2 xxxxxxx3 23 1xx 所以函数在上是严格增函数。3xy (,) 例例 讨论函数在上的单调性。 yx解：解： ，设，显然有.但此函数在上不是严格增的，若取),(,21xx21xx 21xx，则有，所以函数
6、在上是增函数。01x5 . 02x021 xx yx例例 讨论函数在上的单调性。2yx解：解： ，设，可正可负，所以函数在),(,21xx21xx )(12122 12 2xxxxxx2yx上不是单调函数。但若在区间上分别讨论，有，所以在区间), 00 ,(与002 12 22 12 2 xxxx上函数严格增，在区间函数严格减。0 ,(2yx), 02yx注注：（）单调性与所讨论的区间有关，要会求出给定函数的单调区间； （）严格单调函数的几何意义：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点。x这一特征保证了它必有反函数。 2反函数存在性：定理。定理。2 设为严格增（减）函数，则必有反
7、函数，且在其定义域( ),yf x xDf1f1f上也是严格增（减）函数。()f D证明：证明：设在上严格增.对任一，有，使，下面证明这样的只能有一个.fD)(DfyDxyxf)(x事实上，对于内任一，由在上的严格递增性，当时，当时Dxx 1fDxx 1yxf)(1xx 1，总之.这就说明，对每一个，都只存在唯一的一个，使得yxf)(1yxf)(1)(DfyDx，从而函数存在反函数.yxf)(f)(),(1Dfyyfx现证也是严格增的.任取.设,则1f2121),(,yyDfyy)(11 1yfx)(21 2yfx，.由及的严格增性，显然有，即.)(11xfy )(22xfy 21yy f21
8、xx )()(21 11yfyf所以反函数是严格增的。1f例例 6. 讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在2yx(,) 2yx(,) 的子区间上存在反函数否？(,) 解：解：函数在上是严格增的，有反函数；在上是严格2yx), 0 ), 0,xxy2yx0 ,(减的，有反函数；但在上不是单调的，也不存在反函数。, xy0 ,(x2yx(,) 例例 7. 证明：当时在上严格增，当时在上严格递减。xya1a 01a证明：证明：设.给定，.由有理数的稠密性，可取到有理数，使1a Rxx21,21xx 21,rr， （参见1 例 1） ，故有2211xrrx，这就证明了当时222111s
9、upsupxrxrrrrxrxaraaaraa为有理数为有理数 xya1a 在上严格增。类似可证当时在上严格递减。xya01a三、三、奇函数和偶函数：奇函数和偶函数：定义定义. 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有（）fxD，则称为上的奇函数；（），则称为上的偶函数。()( )fxf x f()( )fxf xf注注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称；y（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性。( ),0,1f xx x（3）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。例例 8. 为上的奇函数；
10、为上的偶函数；在上既不是奇函数，xysinRxycosRxxycossinR也不是偶函数，因若取，等式与均不成立。40x)()(00xfxf)()(00xfxf四、周期函数：四、周期函数： 周期函数定义：设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切有，则称为f0xD()( )f xf xf周期函数，称为的一个周期。f 几点说明：（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一。因此有如下“基f()nnNf本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本ff周期” ，简称“周期” 。 （2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期。例例 9. 函数，周期为；xyxycos,sinRx2函数，周期为 ；Rxxxxxf,)(1函数，任何正数都是周期，但无基本周期；RxCCxf，为常数)()(，任一有理数都是周期，任一无理数都不是周期，但无基 为无理数，为有理数，函数xxxDDirichlet01)(本周期。
