圆综合解析与练习(一)

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1、1圆圆 综合解析与练习（一）综合解析与练习（一）【例题精选例题精选】例例 1：判断题（对的打，错的打） 1、过一点可以作无数个圆（ ） 2、三点确定一个圆（ ） 3、直线平分弧必平分此弧所对的弦（ ） 4、一个三角形必有一个外接圆（ ） 5、三角形的外心到三边等距离（ ） 6、在同圆或等圆中，等弦对等弧（ ） 分析：分析：这是一组关于概念的判断题，对于概念的清楚与否，也要看具体问题中应用 的是否正确，在一个命题中，特别要注意语言的叙述中词语是否准确，从而判定结论 是否正确如第 5 小题中，考查的是三角形外心的性质，三角形的外心是到各顶点距 离相等，而不是到各边等距离，因此一定要认真审题 解：1

2、、 2、（应为不在同一直线上三点确定一个圆） 3、（直线改为直径才对）4、5、（应到三个顶点） 6、（未强调是哪条弧）例例 2：已知O 的半径等于 2cm，圆中一条弦长为cm，求弦的中点与弦所对的2 3 弧的中点间的距离 分析：分析：按题意中要求弦的中点与所对弧的中点间距离，首先要明确的是，根据垂径 定理及推论，弦的中点与弧中点的连线应当是直径，还应当注意求的两点间距离有两 种情况，一种是长的一段，一种是短的一段，因此一定要分不同的情况予以讨论 解：由题意画出草图，E 为弦 AB 的中点，C、D 为弧的中点，由垂径定理的推论ED 必过圆心 O，AB=，OA=2，OEAB2 3 OE 23122

3、ED = 21 = 1CE = 2 + 1 = 3 答：弦的中点与弦所对弧的中点间距离为 1cm 或 3cm例例 3：如图，已知，AB 是O 的直径，CD 是弦，AECD 于 E，BFCD 于 F求证：EC = DF 分析：分析：要证 EC 与 DF 两条线段相等，题目中没有利用全等的条件，而在圆中有弦， 可以考虑用垂径定理创造一些线段相等的条件证明：作 OGCD 交 CD 于 G， AECD，BFCD，OGCDAEOGBF AOOB，EGGF又OGCD 于 G，由垂径定理CGDGEGCGFGDGECFD2说明：说明：垂直于弦的直径是常加的辅助线之一，加辅助线时，不一定将整个直径全部 加出，而

4、只要加出其中的一部分就行了例例 4：已知O 的半径为 25cm，两弦 AB、CD，AB/CD，AB=40cm，CD=14cm 求：AB 与 CD 之间的距离 分析：分析：由于题目没有给出图形，因此要考虑图形的位置，若两弦在圆心同侧时，两 弦间距离应等于圆心到两弦距离的差，若两弦在圆心的两侧时，两弦间的距离应等于 圆心到两弦距离的和求圆心到两弦的距离时，可以用垂径定理所构成的三角形去 求 解：分两种情况 （1）当弦 AB、CD 在圆心的同侧时，过圆心 O 作一条弦的垂线，AB/CD，所以 也垂直于另一条弦，由垂径定理也平分这条弦 分别在弦长之半，半径及弦心距构成的直角三角形中，求得弦心距为 15

5、cm 与 24cmAB、CD 在圆心的同侧 AB、CD 间距离为 24cm15cm = 9cm （2）当弦 AB、CD 在圆心的两侧时，同理过圆心作弦的垂线，同理利用解 Rt， 求得弦心距为 24cm 与 15cm，这时，因为 AB、CD 在圆心的两侧，因此，AB、CD 间 的距离为 24 + 15 = 39cm 两弦间距离为 9cm 或 39cm 说明：说明：分类讨论思想是很重要的一种数学思想，由于所给的弦的位置没有确定，因 此可能两弦都在圆心的同侧，也可能都在圆心的两侧，这种由几何图形位置不确定而 引起的分类讨论在几何问题中还是很多的要注意在思考问题时，比较全面的考虑图 形位置的各种情况例

6、例 5：如图，O 是O 的圆心，AOOB 于 O，AB 交O 于 C 点，若 OB=12，AB=13，求 AC 长 分析：分析：AC 在O 中是弦，要求弦长，三角形之间的 关系不易找到求弦 AC 长的方法，所以可以作弦心距， 根据垂径定理，可得弦长之半的数值，那么求弦长的问 题就可以解决了 解：作 ODAC 交 AC 于 D， 由垂径定理，OD 平分 AC 于 D，则AD=DC AOB= 90，ODAB 于D AODABOOA2 = ABAD AB13，OB12由勾股定理 OA2AB2OB2， OA=5 5213ADAD 25 13ACAD250 133例例 6：已知：ABC 中，AB=AC=

7、13cm，底边 BC=10cm，求ABC 外接圆的 半径长 分析：分析：ABC 是个等腰三角形，等腰三角形由于它的特有性质，底边上的高， 底边的中线与顶角平分线三线合一，因此这是解决等腰三角形问题时常加的辅 助线底边 BC 是ABC 外接圆的弦，而弦的垂直平分线必过圆心，因此就构造 了圆的直径，再进行计算就可以了 解：作等腰三角形底边上的高，则平分底边，且这条线是ABC 外接圆的直 径设 BC 边上的高与 BC 交于 E，与ABC 的外接圆交于 D连接 DC则 ADC 是直角 在直角ADC 中，CEAD 于 ERtACERtACDAC2 = AEADAB=13，BEBC1 25AE 13512

8、22 ADAC AE2169 12O 半径为，即cm169 241 24例例 7：已知，如图 AB 和 CD 是O 内相交于 E 点 的等弦，求证：BE=DE 分析：分析：已知条件是圆中两条相等的弦 AB、CD，要 证明的两条线段是 BE、DE，因此要创造条件证明线 段相等，作出两弦的弦心距，这样就构造了两个直角 三角形，可将要证的线段分为两部分，能将两部分分 别相等证出来，就可以证明这两条线段 证明：作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OE，在OME 与ONE 中，OME = ONE = 90 AB = CD，OM = ON，又OE = OERtOMERtONEME = NE 又O

9、MAB，ONDCAM = BM，CN = DNAB = CD，BM = DN 又ME = NEBMME = DNNEBE = DE【综合练习综合练习】一、选择题：（各题有且只有一个答案正确） 1、可以确定一个圆的条件是（ ） A已知圆心位置B已知半径大小 C过三个点D过不共一直线的三点 2、O 及O 内一点 P，过点 P 最长的弦为（ ） A过点 P 的直径B与 OP 成 30角的弦 C与 OP 成 60角的弦D与 OP 垂直的弦 3、点 P 与O 上点的最短距离为 2，最长距离为 8，则O 的半径为（ 4） A4B5C3D5 或 3 4、在同圆或等圆中，如果中心角BOA 等于另一中心角COD

10、 的 2 倍， 则下列式子中能成立的是（ ）5、在半径为 R 的圆中，垂直平分半径的弦所对的中心角等于（ ） A120B90C60D150 6、O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 G，若 AB 上较长一段 AG = 8cm，弦长 CD = 8cm，则O 的半径为（ ） A8cmB5cmC3cmD2cm 7、下列说法中正确的是（ ） A半径也是圆的弦 B半圆即可叫做优弧，也可叫做劣弧 C直径 2 倍半径 D直径 = 2 倍半径 8、下列命题中正确的是（ ） A圆内两条互相垂直且相等的弦一定互相平分 B不是直径的圆内两弦不能互相平分 C不与直径垂直的弦，一定不能被该直径所平分 D垂直平分圆

11、内一条弦的直线不能平分这条弦所对的优弧 二、填空题 1、已知 P 是以 O 为圆心，分别以 2cm 和 5cm 为半径的两圆所围成的环形 中的一点，则 OP 的取值范围是 2、半径为 4 的圆中，垂直平分半径的弦长等于 3、 直角三角形的两条直角边分别为 5cm 和 12cm， 则其外接圆半径长为 4、弓形的弦长为 6cm，弓形的高为 2cm，则这个弓形的圆的半径为 三、解答题 1、已知，如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于 P 点，APD = 45，AP = 5，PB = 1求：CD 的长 2、已知，O 中，直径 CD 交弦 AB 于 E，D 是的中点，CD = 16cm，CEE

12、D = 31求 AB 的长 3、已知：AB 是O 中一条弦，AOB = 120，AB = 6cm，求AOB 的面 积 4、已知，P 是O 外一点，PO 交O 于 C，PAB 交O 于 A、B，又知 PO = 13cm，O 到 AB 距离等于 5cm，PA = 5cm，求 AB 长5第题 5、 已知：如图，AB、DE 是O 的直径，AC/DE 交O 于 C求证：BE = EC6、 已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、O、D 将 AB 四等分，E、F 在半圆上，CEAB，DFAB 求证：E、F 将半圆三等分【答案答案】一、1、D2、A3、D（注意点 P 的位置是在圆内或者是在圆外） 4、

13、C5、A6、B7、D8、B二、1、2cm OP 5cm 2、 3、cm4、cm4 313 213 4 三、1、提示：过 O 点作 OECD 于 E，由 AP = 5，PB = 1，可知直径2 7 为 6，半径为 3，而 OP = 2，则 OE 可求得为，解 RtODE，解得 DE 长为2 ，由垂径定理得 CD 长为72 7 2、cm 提示：求弦长的问题，可利用有关的直角三角形解，连8 3 OB，构成直角三角形 OEB，由 CEED = 31，可求得 CE =12，DE =4，则OE =4，在 RtOEB 中，EB = =，则弦长为cm84224 38 3 3、cm2 提示：求三角形的面积时，可

14、以先求出三角形的高，实际3 3 上就是弦心距，因为AOB 是两腰为半径的等腰三角形根据垂径定理，通过解直角三角形，求得弦心距为再求AOB 的面积3 4、14cm 提示：先作出 O 到 AB 的距离，实际就是弦心距，由勾股定理， 可以求出 P 到垂足间距离 12cm又因为 PA = 5cm，可求出 A 点到垂足间距离 为 7cm，这一点也是弦的中点，这样弦长为 14cm对这样求弦长的问题，一定 注意要乘以 2，有同学忽略题中的条件，不注意审题，而出现计算错误 5、提示：可以从弧相等，而证弦相 等AB、ED 是两条直径相 交 则BOE = AOD又AC / DEBE = EC6、提示：题目中是证将弧三等分，可以用弧的度数相等去证 连结 OEC、O、D 将 AB 四等6分COAOEO1 21 2ECAB AOE = 60 同理可证BOF = 60EOF = 1806060 = 60即 E、F 将半圆三等分