函数的周期和对称性

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1、 1专题：函数的周期性对称性专题：函数的周期性对称性1、周期函数的定义、周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一)(xfy 个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这)()(xfTxf)(xfy 个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若 T 是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我)0,(kzkkT)(xf们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：说明：1、周期函数定义域必是无界的。周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。、周期函数不一定都有最小

2、正周期。推广：推广：若，则是周期函数，是它的一个周期； )()(bxfaxf)(xfab ，则周期为 T；)2()2(TxfTxf)(xf的周期为的周期为。( )f x)( xfTT2、常见周期函数的函数方程：、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数)()()(baCxbfxaf对于定义域中任意x满足，则有)()22(xfabxf，)()()(baCxbfxaf故函数)(xf的周期是)(2abT特例：，则是以为周期的周期函数； f xaf x xf2Ta（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若，则得)()()(可正可负，CbaCxbfxaf)22()2()2(abaxfa

3、xf，所以函数)(xf的周期是)(2abT2（3）分式型，即函数)(xf满足)()(1)(1)(babxfbxfaxf由)()(1)(1)(babxfbxfaxf得)2(1)2(bxfaxf，进而得1)2()2(bxfaxf，由前面的结论得)(xf的周期是)(4abT特例：，则是以为周期的周期函数； 1f xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数.)(11)(xfaxf xfaT3，则是以为周期的周期函数.)(11)(xfaxf xfaT3，则是以为周期的周期函数.)(11)(xfaxf xfaT3，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta，则是以为周

4、期的周期函数.1)(1)()(xfxfaxf xf4Ta，则是以为周期的周期函数.1)(1)()(xfxfaxf xfaT2，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf2Ta（4）递推型：（或） ，则的周期 T= )()()(axfxfaxf)2()()(axfaxfxf)(xf6a（联系数列） ,则( )()(2 ) (3 )(4 )f xf xaf xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa的周期 T=5a；)(xf其中，则是以为，满足)0()()()(axfgaxfxfy)()(1xgxg)(

5、xfy a2周期的周期函数。33、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心） ，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论结论 1：两线对称型：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即R( )f xxaxb，且，那么是周期函数，其中一个周期()()f axf ax()()f bxf bx( )f x 2Tab证明证明：得()()f axf ax( )(2)f xfax 得()()f bxf bx( )(2)

6、f xfbx(2)(2)faxfbx( )(22)f xfbax函数是周期函数，且是一个周期。( )yf x22ba【注意：上述注意：上述不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴、之间没之间没2 abxaxb有其他对称轴，则有其他对称轴，则是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。 】2 ab结论结论 2：两点对称型：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即, a c, b cab和，那么是周期函数，其中()()2f axf axc()()2f bxf bxc()ab( )f x一个周

7、期2Tab证明：证明：由()()2f axf axc( )(2)2f xfaxc()()2f bxf bxc( )(2)2f xfbxc得(2)(2)faxfbx得( )(22)f xfbax函数是以为周期的函数。( )yf x22ba结论结论 3：一线一点对称型：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且( )f x, a c0a 关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期xbab( )f x4Tab证明：证明：()()2( )(2)2f axf axcf xfaxc()()( )(2)f bxf bxf xfbx(4()(2(42)fbaxfbabx(42)(2(22)

8、2(22)fabxfabaxcfbax2(2(2)2(2)cfbaxcfax2(2( )22( )( )ccf xccf xf x推论推论 1：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，( )f xxa0a ( )f x4其中一个周期2Ta推论推论 2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，( )f x, a c0a ( )f x其中一个周期4Ta推论推论 3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，( )f xxa0a ( )f x其中一个周期4Ta推论推论 4：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其( )f x, a c0a ( )f x中一个周期

9、2Ta【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的，函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的， 方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。 】【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况，奇函数对称中心为（函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况，奇函数对称中心为（0,0） ，偶函数对称轴为，偶函数对称轴为y=0，带入结论，带入结论 1-3，可得推论，可得推论 1-4，所以学生在记忆时只需记住结论，所以学生在记忆时只需记住结论 1-3 即可，减少工作量即可，减少工作

10、量】【同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明】典例精讲典例精讲 一一 利用周期性求值：利用周期性求值：例例 1、（）函数对于任意实数满足条件，若，则)(xfx)(1)2(xfxf5) 1 (f=_ _。)5( ff1-5例例 2、（）已知定义在 R 上的奇函数满足，则的值为 ( )(xf)()2(xfxf)6(fB )A、1 B、0 C、1 D、2例例 3、 （）已知奇函数满足)(xf的值为 。)18(log,2)(,) 1 , 0(),()2(21fxfxxfxfx则时且 212222 29log8 2(2

11、)( )(2)(4)99(log 18)( log 18)(4log 18)(log)( log)8899(log)288f xf xf xf xf xffffff Q解：，【提问：当所要求的值不在定义域中时，怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式提问：当所要求的值不在定义域中时，怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式 的这一段定义域中去？除了充分利用周期性外，还要注意题中的已知条件，如奇偶性、对的这一段定义域中去？除了充分利用周期性外，还要注意题中的已知条件，如奇偶性、对5称性等。称性等。 】例例 4、 （）的定义域是，且,若( )f xR(2)1( )1( )f xf xf x (

12、0)2008f 求 f(2008)的值。 (4) 11(2) 11(4) 1( )(8)(4) 1(2) 1(4)1(4) 18(2008)(0)2008f x f xf xf xf xf xf xf x f xff解：周期为，二二 利用周期性求解析式：利用周期性求解析式：例例5、 （）已知是以2为周期的偶函数，且当时，.( )f x(0,1)x( )1f xx求在上的解析式。( )f x(1,2) 解法解法1： 从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 , 则 (1,2)x( 2, 1)x , ，是偶函数2(0,1)x 2T ( )()(2)213f xfx

13、fxxx (1,2)x 解法解法2： （从图象入手也可解决，且较直观）( )(2)f xf x如图：, .是偶函数(0,1)x( )1f xx时( 1,0)x ( )()1f xfxx 又周期为2，时(1,2)x2( 1,0)x ( )(2)(2) 13f xf xxx 例例 6、 （）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数( )yf xR5T 是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函( )yf x( 11)x ( )yf x0,11,4数，且在时函数取得最小值.2x 5 （1）证明：；(1)(4)0ff（2）求的解析式；( ),1,4yf x x（3）求在上的解析式.( )yf x4,9

14、解解：是以为周期的周期函数，且在上是奇函数，( )f x5 1,1，.(1)( 1)(5 1)(4)ffff (1)(4)0ff当时，由题意可设，1,4x2( )(2)5 (0)f xa xa由得，(1)(4)0ff22(1 2)5(42)50aa 2a .2( )2(2)5(14)f xxx是奇函数，( )( 11)yf xx (0)0f又知在上是一次函数，可设( )yf x0,1( )(01)f xkxx6而，2(1)2(1 2)53f ，当时，3k 01x( )3f xx 从而时，故时，.10x ( )()3f xfxx 11x ( )3f xx 当时，有，.46x151x ( )(5)3(5)315f xf xxx 当时，69x154x22( )(5