六种基本的三角函数

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1、余切编辑本段概述概述表示时用“cot+角度”，如：30的余切表示为 cot30;角 A 的余切表示为 cotA旧用 ctgA 来表示余切，至今仍在使用，和 cotA 是一样的。 （注：现在已经不常用了）任意角终边上除顶点外的任一点的横坐标除以该点的非零纵坐标,角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,而该角的始边则与正 x 轴重合简单点理解:直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比,叫做该锐角的余切。假设假设 A 的的对边对边为为 a、邻边为、邻边为 b，那么，那么:cot A= b/a（即邻边比对边）（即邻边比对边）右图为余切函数图像。1编辑本段余切的性质余切的性质1.与正切互为倒数2.单调递减3.奇

2、函数4.值域 R编辑本段相关公式相关公式和的关系和的关系1+cot2=csc2积的关系积的关系cot=coscsctan cot=1商的关系商的关系cos/sin=cot=csc/sec由泰勒级数得出cotx=1/tanx=ie(ix)+ie(-ix)/e(ix)-e(-ix)和角公式和角公式cot(+)=(cotcot-1)/(cot+cot)cot(-)=(cotcot+1)/(cot-cot)编辑本段余切是混沌的余切是混沌的“余切序列”是蝴蝶效应的一个典型例子。你看，以下三个数列每一项都是前一项的余切；初值分别为1、1.00001、1.0001，但是从第10项开始，三个数列开始形成巨大的

3、分歧。这就是混沌的数列，经过足够多项后，得到的数字完全可以看作是随机的，混沌的。an+1=cot(an)甲乙丙11.000011.00010.6420926160.6420784930.6419513971.3372531781.3372925561.3376470060.2378838770.2378422710.2374678014.1241363324.1248857294.1316421090.6670279030.665945620.6562364341.2699574741.2727891481.298546250.3102556110.307154080.2791820713.1

4、190604633.1526604993.488344037-44.3734379690.348130062.767389601-2.424894313-1.056234059-2.5464313981.147785023-0.5653638021.4769811640.45018926-1.5761759160.0940913672.0691574070.00537964110.5965853-0.544176342185.88421660.421601998-1.6525623991.7057482612.2296772570.081948782-0.135777195-0.7743133

5、3812.17541547-7.31969225-1.02241908-2.42617226-0.59169349-0.6108746881.150750903-1.48807061-1.4281192840.44662703-0.082914948-0.1436531382.088110796-12.03290058-6.913261967-0.5690013761.693228262-1.371305422正切zhng qi 目录目录定义三角函数相关知识常见特殊角的三角函数值展开定义三角函数相关知识常见特殊角的三角函数值展开编辑本段定义定义正切正切（tan）定理）定理 正切定理是三角学中的

6、一个定理。在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商.法兰西斯韦达(Franois Vite)曾在他对三角法研究的第一本著作应用于三角形的数学法则中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。正切定理： (a + b) / (a - b) = tan(+)/2) / tan(-)/2)

7、证明证明 由下式开始，由正弦定理得出(参阅三角恒等式)正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。放在直角坐标系中（如图）即 tan=y/x也有表示为 tg=y/x，但一般常用 tan=y/x（由正切英文 tangent（读作英tndnt 美tndnt）简写得来） 。定义图编辑本段三角函数三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整三角函数示意图个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于

8、三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。在 RTABC 中，如果锐角 A 确定，那么角 A 的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角 A 的正切，记作 tanA。即 tanA=角 A 的对边/角 A 的邻边。编辑本段相关知识相关知识六种基本函数六种基本函数函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割余割正弦函数 sin=y/r1余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x 余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y同角三角函数关系式同角三角函数关系式平方关系：sin2()+cos2()=

9、1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()积的关系：sin=tan*cos cos=cot*sintan=sin*sec cot=cos*cscsec=tan*csc csc=sec*cot倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1三角函数恒等变形公式三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)编辑本段常见特殊角的三角函数值常见特殊角的三角

10、函数值sin30=1/2sin45=2/2sin60=3/2cos30=3/2cos45=2/2cos60=1/2tan30=3/3tan45=1tan60=3倍角公式倍角公式sin(2)=2sincoscos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()三倍角公式三倍角公式sin3=3sin-4sin3()cos3=4cos3()-3cos半角公式半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos

11、)/sin降幂公式降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万能公式万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式积化和差公式sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(

12、-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2其他其他tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)tanAtanB=1余弦目录目录定义定理证明方法相关图片展开定义定理证明方法相关图片展开编辑本段定义定义角 A 的邻边比斜边 叫做A 的余弦，记作 cosA（由余弦

13、英文 cosine 简写得来） ，即cosA=角 A 的邻边/斜边（直角三角形） 。记作 cos=x/r。余弦余弦是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是-1,1。它是周期函数，其最小正周期为2。在自变量为2k（k 为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于 y 轴对称。编辑本段定理定理简介简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即在余弦定理中，令 C=90，这时 cosC=0，所以c2=a2+b2（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；

14、（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。 （见解三角形公式，推导过程略。 ）性质性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为 a，b，c 三角为 A，B，C ，则满足性质（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设ABC 的三边是 a、b、c，它们所对的角分别是 A、B、C，则有a=bcos C+ccos B， b=ccos A+acos C， c=acos B+bcos A。两根判别法两根判别法若记 m(c1,c2）为 c 的两值为正根的个数，c1为 c 的表达式中根号前取加号的值，c2

15、为 c 的表达式中根号前取减号的值若 m(c1,c2）=2，则有两解；若 m(c1,c2）=1，则有一解；若 m(c1,c2）=0，则有零解（即无解） 。注意：若 c1等于 c2且 c1或 c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。角边判别法角边判别法1、当 absinA 时当 ba 且 cosA0（即 A 为锐角）时，则有两解；当 ba 且 cosA0（即 A 为锐角）时，则有一解；当 b=a 且 cosA0（即 A 为锐角）时，则有一解；当 cosA=0（即 A 为直角或钝角）时，则有零解（即无解） ；3、当 absinA 时，则有零解（即无解）编辑本段证明方法证明方法平面向量平面向量证法证法如图，有 a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）cc=(a+b）（a+b)c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos（-）（以上