振动理论讲义第7章 二自由度系统

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1、振动理论 北京大学力学系 陈永强 1目录目录 第 7 章 二自由度系统 . 1 7.1 自由振动和固有频率 . 1 7.2 二自由度系统的基本概念 . 8 7.3 二自由度无阻尼受迫振动 . 9 7.3.1 振动微分方程和固有频率 . 9 7.3.2 振幅比 . 10 7.4 动力吸振器 . 10 7.5 阻尼吸振器 . 15 7.6 船舶的稳定 . 19 7.7 汽车的减振 . 22 7.8 参考书 . 25 7.9 习题 . 25 第7章 二自由度系统 7.1 自由振动和固有频率 前面我们讨论了具有粘性阻尼的单自由度系统的振动理论。所讨论的理想系统在实 际中是比较少见的，但是有很多实际情形

2、是很接近理想情形的，因此，理论上的结论就 具有实际上的重要性。 单自由度系统的理论能够解释共振现象，计算结构固有频率，以及解释大多数振动 测量仪器的作用和原理，并用于讨论隔振和避振，等等。为了解释更复杂的现象，必须 建立更复杂的理论。下面先讲几个二自由度系统自由振动的例子，然后再介绍系统建立 二自由度/多自由度系统的概念和方法。 图 7.1 用弹簧耦合的无阻尼二自由度系统 振动理论 北京大学力学系 陈永强 2最一般的无阻尼二自由度系统可以简化为图 7.1 所示的系统，包含弹簧?和?以及两个 质量?和?；然后用一根耦合弹簧?把两个质量联系起来。假定两个质量只能沿竖直 方向运动。很明显，这是二自由

3、度系统，因为两个弹簧可以独立运动。一旦知道两个质 量的位置?和?就能完全确定系统的构形。 与单自由度中情形类似，在二自由度系统中，也有与图 7.1 完全等价的扭转振动和 电磁振荡现象。 现在考虑二自由度自由振动的计算。注意到有两个不同的力作用在质量?上，即主 弹簧?和耦合弹簧?的弹力。主弹簧的力为? ?,方向向下（?方向） ，耦合弹簧的缩 短?, 因此其压缩力为?. 处于压缩状态的耦合弹簧向上推动?， 因此 其弹性力取负号。这是两个作用在质量?的有形的力，再加上惯性力，其运动方程为 ? ? ?(7.1) 或 ? ? ?(7.2) 同样，考虑第二个质量上的受力和平衡，有 ? ? ?(7.3) 假

4、定两个质量都做谐振动，具有相同的未知频率和不同的未知振幅1a和2a ?sin?sin(7.4) 这只是个猜测，还不知道假设的这两个运动是不是可能的。代入微分方程(7.2)、(7.3)进 行检验，有 ?(7.5) ?(7.6) 上面方程必须在任意时刻都成立。上面两个方程表示两个正弦波，为使其在所有的时刻 均为零，括号里面的振幅必须为零， ?(7.7) 上面方程有非零解的条件为?和?的系数行列式为零 2 1133 2 3223()0()mkkkkmkk(7.8) 上式展开后是?的二次方程，即为频率方程，或称特征方程。?有两个根，称为特征值，确定了系统的两个固有频率。 现在从另一个角度考虑这一问题。

5、注意到如果假设(7.4)是正确的，方程(7.7)必须满 足。一般情况下，这是不成立的。但是注意到在方程(7.4)中没有指定振幅?和?或者频 率 。可以通过适当选择?和 使(7.7)成立，所得到的?和 的值使方程(7.4)成为 问题的解。由方程(7.7)，两个振幅比为 ? (7.9) ?(7.10) 为了一致性，要求二式相等： ? (7.11) 振动理论 北京大学力学系 陈永强 3即, ?(7.12) 上面的方程， 即频率方程， 将给出?的两个值。 每个?的值， 都会对应一个?的值。 这说明方程(7.4)可以作为问题的解, 而该问题共有两个这样的解。 如果熟悉弹性理论中的摩尔元，可能会对以下的作

6、图法感兴趣。令 ?(7.13) 式中，?相当于把?固定后系统的频率；?相当于把?固定后系统的频率，而?，反映了耦合强度。利用以上符号，方程(7.12)可以写为 ?(7.14) 其解为 ? ?(7.15) 并有 ? (7.16) 莫尔圆： 图 7.2 确定固有频率的莫尔圆 ?，?，?， 以 A 点和 B 点的中点作为圆心，作一个通过 C 点的 圆，求得两个新的点 D 和 E 就是系统的固有频率。 ?， ?特别是，没有耦合项时，点 和 就重合于 和 ，所以?和?都是固有频 率。 为了进一步讨论的简单起见，我们把系统适当简化，对称化。假设?，?，频率方程简化为 ?(7.17) 具有解 振动理论 北京

7、大学力学系 陈永强 4?(7.18) 或者写成 ?，?(7.19) 分别把这两个固有频率代入(7.9)和(7.10)，可以得到对应的振幅比： ?（?） (7.20) ?（?） (7.21) 物理意义：两个固有运动方式对应两个固有频率， ?：两个质量同方向运动并通过同样的距离；弹簧?既不拉伸，也没有压缩，系统简化为两个独立的单自由度系统。 ?：两个质量反方向运动并通过同样的距离，是纯粹的正弦波；两个独立的单自由度运动；弹簧?的中点不动，是节点; 起始扰动：?，?。如果耦合弹簧的 中点被固定住，系统的运动不会发生变化。此时系统被分成两个单自由度系统：质量被 两个弹簧连接到地面上， 一个弹簧的刚度为

8、 , 另一个弹簧的刚度为?, 因此其频率为 ?。 这样，就会有两个运动固有模态，每个模态都有各自的固有频率。 如果给系统一个初始扰动为：?，?，然后释放，随后发生的是纯粹的 正弦波，频率为?,以第一种模态运动。 如果给系统一个初始扰动为：?，?， 对应着正弦波的频率为?, 以第二种模态运动。 如果初始扰动为11x ,20x ，对应什么样的运动？ 可以把这个起始位移看成是两部分之和： 1. ?，?和 2. ?，?，而这两部分的解都是已经知道的。 现在假设随后的振动是以下两个部分的运动的叠加 ?(质量?的运动) (7.22) ?(质量?的运动) (7.23) 即后继运动是具有振幅与频率?的第一种方

9、式的运动，叠加在具有振幅和频率?的第二种运动上面，可以把其代入方程(7.2)和(7.3)进行验证。 只要有耦合弹簧?，?一定和?不同，因此每个弹簧的合成运动就都不是正弦运动， 而是包括两个频率。 当两个频率比较接近时，就会发生“拍”的现象。例如，如果?，即耦合弹簧很 软，则?，如果给初始位移?，?，首先，?将 以振幅 1 振动，?保持静止。经过一段时间之后，两个频率之间的相位差就会把两个振 动之间的相位改变 180 度，即振动由?，?（第一种方式）和?，?（第二种方式）发展到 振动理论 北京大学力学系 陈永强 511/ 2x ，21/ 2x （第一种方式）和11/ 2x ，21/ 2x （第二

10、种方式） ，即质量?保持静止，质量?作振幅为 1 的振动。 这一现象是周期性的，全部运动不断地从一个质量转移到另一个质量上。 图 7.3 列出了五种具有这种性质的振动。第一种含有两个纸面内摆动的单摆，主弹 簧由重力取代，耦合弹簧为很软的螺旋弹簧。对于小振动（比如小于 30 振幅） ，重力 摆的表现与基本的弹簧质量系统一样。弹性常数 , 即单位位移的恢复力，为, 所以单摆的频率是?. 图 7.3(a)简化为图 7.1，可以看到图 7.1 中的耦合弹簧的弹性常数?就是质量被拉动单位距离时耦合弹簧作用在质量上的力。如果在图 7.3(a) 应用这一定义，在不考虑重力的情况下，作用在其中一个质量上的力?

11、把质量拉离单位位移, 因此与?等价的是?。 可以很容易识别两种本征运动模态。两个单摆或者共同运动，或者反向运动，其频率分别为?及?. 图 7.3 把左摆向左拉动单位位移，同时保持右摆在原位置不动，这种情形等价于图 7.4b 和 c 所示的位移之和。 一旦释放左摆， 它将发生如图 7.4 所示的振动 （右摆保持静止） ， 其运动可以看成是图中所示的频率分别为?和?之和。摆的这一运动形式只能在最初 的少数几个周期内保持， 因为两个固有频率足够接近使得在一个很短的时间内能够保持 同步。然而，既然?, 第二种模态实际上比第一种进行地快。经过一定的时间间 隔后，第二种模态就会比第一种模态超前 180 , 如图 7.4d 和 e.经过图中所示的后继发 展，可以看到，左摆将保持静止，右摆做满振幅的摆动。这一现象自身不断重复，振幅 从一个摆和另一个摆之间来回转移，直