研究性课题：多面体欧拉定理的发现

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1、1研究性课题：多面体欧拉定理的发现研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时第一课时 欧拉定理（一）欧拉定理（一）教学目标：教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的 V、E、F 关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的 V、E、F 从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究

2、 精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点教学重点 欧拉公式的发现. 教学难点教学难点 使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法教学方法 指导学生自学法 首先通过问题 1 利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体 V、E、F 关系 的感性认识从中寻找规律，问题 2 让学生作进一步观察、验证得出规律，问题 3 让学生 在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题 4 让学 生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上 4 个问题逐步深入地展开，旨在不

3、仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会 和学习研究数学的思想和方法. 教学过程教学过程 情境设置情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰伯努利，有惊人的记忆力，是 数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达 865 部（篇） ，28 岁右眼失明，1766 年， 左眼又失明了，1771 年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可 他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立 即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的 意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他 的长子

4、记录。他用这种方法又发表了论文多篇以及多部专著，这几乎占他全部著 作的半数以上，欧拉从 19 岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至 在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后 47 年的圣彼得堡科学院学报。2数学方面：他的论著几乎涉及 18 世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首 先将符号正规化，如 f（x）表示函数，e 表示自然对数的底，a、b、c 表示ABC 的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式,将数学上的 5 个常数 0、1、i、e、联在一起；再如就是多面体的欧拉定理 VE+F=2，V、E、F 分别代表一简单

5、多面体的顶点、棱和面的数目 物理方面：他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及 材料力学，在光学上也有杰出的贡献，古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主 要建筑师，他研究了天文学，并与达朗贝尔、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，流 体力学的创始人。 其它方面：欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决 了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献。如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的 设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了 各种衡器的准确度。另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。他不 但为科学院做大量

6、工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为 气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析，他把自己所建立的理 想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流 体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。 今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予 理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的 讨论互相进行数学交流. 探索研究探索研究 问题 1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数 V、面数 F 和棱数 E，并填 表 1正多面体顶点数 V面数 F棱数 E

7、正四面体446正六面体8612正八面体68123正十二面体.201230正二十面体122030观察表中填出的数据，请找出顶点数 V、面数 F 及棱数 E 之间的规律。 教师巡视指导，如正十二面体，先定面数 E12；再定棱数，每个面有 5 条棱，共有12560 条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于 是棱数 E60/230；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有 3V 条棱，又 因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有 3V/2 条 棱，即 E3V/2，所以 V20。 表 1 中多面体的面数 F 都随顶点数目 V 的增大而增大吗

8、？ 不一定. 请举例说明. 如八面体和立方体的顶点数由 6 增大到 8，而面数由 8 减小到 6. 此时棱的数目呢？ 棱数都是一样的. 所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大. 大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言. 当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律. 上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即 E 与 V+F 是否有某种关系，请大家 按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系. （积极验证，得出） V+FE=2 以上同学们得到的 V+FE=2 这个关系式是由表 1 中的五种多面体得到，那么这个 关系式对于其他的多面体是否也成立吗

9、？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证. （许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等. （教师应启发学生展开想象，举出更多的例子） 一个三棱锥截去含 3 条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形 等. 好，同学们现在想象，例如：n 棱锥在它的 n 边形面上增加一个“屋顶”或截去含 n 条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？ 所得的多面体的棱数 E 为 3n 条，顶点数 V 为 2n 个，面数 V 为 2+n 个，因 2n+（2+n）3n=2,故满足 V+FE=2 这个关系式. 请继续来观察下面的图形，填表 2，并验证得出的公式工 VFE2_ O_ E _

10、 D_ C_ B_ A_ S4正多面体顶点数面 数棱 数五棱锥四棱柱五棱柱四棱锥六棱锥八面体七面体十面体（学生观察，数它们的顶点数 V、面数 F、棱数 E，并填入表 2，可能有些同学出错， 教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完） 观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形 符合？ 一起来设想问题 1 和问题 2 中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方 伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图 形的变化过

11、程我们称之为连续变形形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后 其表面可变为一个球面？ 问题 1 中的（1）（5）和问题 2 中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球 面. 请同学们继续设想问题 2 中在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？ 问题 2 中第个图形；表面经过连续变形能变为环面 像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体. 请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？ 棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体. 简单多面体的顶点数 V、面数 F 的和与棱数 E 之间存在规律 V+FE=2. 我们将它叫做欧拉公式，以上

12、3 个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现 V+FE=2 的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本 P65的欧拉公式证明方法中 的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想. （学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）5在欧拉公式中，令 f(p)VFE。f(p)叫做欧拉示性数。 简单多面体的欧拉示性数 反思应用反思应用 例 1 用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式. 解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=96+59=2，V+FE=2 在四棱锥中：V=5，F=5，E=85+58=2，V+FE=2 例 2 一个简单多面体的各面都是三角形，且有 6 个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：

13、因为一个面都有 3 条边，每两条边合为 1 条棱. 所以它的面数 F 和棱数 E 之间有关系 E=3F/2.又由欧拉公式 V+FE=2，且顶点数 V=6.F=E+2V=E+26=3F/24 F=8 例 3 证明：没有棱数为 7 的简单多面体. 证明：设一个简单多面体的棱 E=7，它的面数为 F，顶点数为 V，那么根据欧拉公式 有 V+F=E+2=9. 又多面体的面数 F4,顶点数 V4, 只能有两种情况： （1）F=4，V=5 或（2）F=5，V=4 当 F=4 时，多面体为四面体，而四面体只有 4 个顶点，故（1）不可能； 当 V=4 时，多面体也是四面体，而四面体只有 4 个面，故（2）不

14、可能. 没有棱数为 7 的简单多面体. 例 4 已知一个十二面体共有 8 个顶点，其中两个顶点处各有 6 条棱，其他顶点处各 有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？ 解：F=12，V=8，E=V+F2=18 两个顶点处各有 6 条棱 余 6 条棱，6 个顶点 而这 6 个顶点构成六边形，过这 6 个顶点的棱应该各有 4 条. 注意：本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形， 在它所在面的两侧各取一个点，共 8 个顶点、12 个面.从中体会构建数学模型对于解决问 题的方便与直观. 例 5 证明：四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一 性质. 证明：

15、设多面体的顶点数 V=n,则它们互相连接成的棱数 E=n(n1)/2 每一条棱是两个面的边界，每个面至少有 3 条棱作边界.F（n1）=（n1）232 n3n6V+F=E+2n+（n1）（n1）+2,3n 2n6n+2n（n1）3n（n1）+12, n27n+120,（n3） （n4）0. n4,n=4. 例 6 正 n（n=4,8,20）面体的棱长为 a,求它们表面积共同公式. 解：正 n（n=4,8,20）面体的面都是边长为 a 的正三角形.S=a243它们表面积的共同公式为S全=nna2（其中 n=4,8,20）43 432a归纳总结归纳总结 本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想

16、与方法去发现公式 V+FE=2 的 过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧 拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节 课一起讨论解决. 作业作业 （一）P69 习题 9.10 1、2 1、已知，凸多面体的各面都是四边形，求证：F=V2 证明：这个凸多面体每个面都是四边形， 每个面都是四条边. 又多面体相邻两面的两条边合为一条棱E=2F，24F将代入欧拉公式 V+FE=2 中，得 F=V2 注意：数学中可启发学生考虑：各面是三角形或五边形的情况. 2、一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数 V 和面数 F 有 F=2V4 的 关系. 解：V+FE=2又E=，V+F=0，F=2V423F 23F（二）预习提纲 （1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路. （2）如何用欧拉公式解决