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1、目 录 摘要1关键词1Abstract.1Keys.1前言11. 定积分的定义12. 定积分的基本性质23. 定积分的应用23.1 用定积分求平面图形的面积33.2 定积分在物理中的某些应用5参考文献71常系数微分方程的解法常系数微分方程的解法姓名：XXX 学号：XXXX 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：XXXX 职称：副教授摘 要：本文主要介绍了解常系数微分方程的三种解法:1,欧拉待定指数函数法；2，比较系数法；3，拉普拉斯变换法.而每一种方法后面又列举一些例子,进一步巩固了这三种算法.最后又列举了常微分方程在实际生活中的应用.关键词：齐次线性微分方程;非齐次线性微分方程;
2、特征方程,拉普拉斯变换法.The solution of differential equation with constant coefficients Abstract: This article mainly introduced three solution of differential equation with constant coefficients:one,the method of undetermined Euler index function;two,The method of compared coefficients;three, the method of L
3、aplace transformation.However,we take some examples behind every method to consolidate them.Finally,we also list the application of differential equation with constant coefficients in life. Key Words:the homogeneous linear differential equation;the nonhomogeneous linear differential equation;the cha
4、racteristic equation; the method of Laplace transformation前言前言 本文介绍能够彻底解决的一类方程常系数线性方程及可以化为这一类的方程的求解问题.求得常系数线性微分方程的通解,只须解一个代数方程 而不必通过积分运算.对于某些特殊的非其次线性微分方程也可以通过代数运算 和微分运算求得它的通解.我们一定要记住常系数线性方程固有的这种简单特性1.常系数常系数齐齐次次线线性微分方程的解法性微分方程的解法1.1 齐齐次次线线性微分方程性微分方程方程有如下形状, （1.1）1111 0nnnnnnd xdxdL xaaxa xdtdtdtL其中,为
5、常数.我们称（1.1）为阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程.1a2aLnan1.2 特征方程特征方程1111ntnt ttt nnnnd ededL eaaea edtdtdt L2,1 11()( )nntt nnaaa eFe L其中是的次多项式.我们称1 11( )nn nnFaaa Ln, （1.2）1 11( )0nn nnFaaa L是方程（1.1）的特征方程特征方程.它的根就称为特征根特征根. 1.3 欧拉待定指数函数法欧拉待定指数函数法 它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程的解法. 按照线性方程的一般理论,为了求方程（1.1）的通解,只需求
6、出它的基本解组.下 面介绍求（1.1）的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称特征根法）欧拉待定指数函数法（又称特征根法）. 回顾一阶常系数齐次线性微分方程. 0dxaxdt我们知道它有形如的解,且它的通解就是.这启示我们对于atxeatxce方程（1.1）也去试求指数函数形式的解, （1.3）txe其中是待定常数,可以是实的,也可以是复的. 1.31 特征根是单根的情形设,是特征方程（1.2）的几个彼此不相等的根,则相应地方程12Ln（1.1）有如下几个解:,. (1.4)1te2teLnte12121212111 12( )nnntttttt ntttnnn neee eeew teeeL L
7、 MMM L.1212()111 12111nnnnn neLL L MMM L1()ij j i n 由于假设,故.从而解组（1.4）线性无关.ij( )0w t 如果均为实数,则（1.4）是方程（1.1）的个线性无关的实i(1,2, )inLn数解.而方程（1.1）的通解可表示为:,12 12nttt nxc ec ec eL其中,为任意常数.1c2cLnc3如果为复根,则因方程的系数是实常数,复数将成对共轭出现.设i是一特征根,则也是一特征根,从而方程（1.1）有两个复值1i1i解:,1(cossin)iteetit .1(cossin)iteetit 例例 1 求方程通解.440d x
8、xdt解解 特征方程的根为,.有两个实根和两410 1121 3i4i 个复根,均为单根,故方程的通解为 ,1234cossinttxc ec ectct这里,为任意常数.1c234,c c c1.32 特征根是重根的情形设特征方程有重根,则k1, .(1) 111()()()0kFFFL( ) 1()0kF设,即特征方程有因子,于是,即特征方程的形状10k110nnn kaaa L为.1 10nnk n kaa L而对应的方程（1.1）变为.1110nnkn knnkd xdxd xaadtdtdtL从而方程的个解为.k211, ,kt ttL设时,我们做变量变换101txye即 1()()
9、tmxye,1()(1)2(2) 111(1)2!tmmmmm meymyyyL从而 ,111111() nn ttt nnnd ydyL yebb y eL y edtdtL4则积分方程（1.1）可化为 . 1111 0nnnnnd ydyL ybb ydtdtL（1.5）其中仍为常数,而相应的特征方程为12,nb bbL. 1 11( )0nn nnGbbb L（1.6）直接计算易得,11()() 1()ttFeL e 11() 1( )tttL eeGe 因此 ,1()( )FG从而 , ( )( ) 1()( )jjFG1,2,.jkL可见（1.2）的根对应于（1.6）的根,而且重数相
10、同,这样问110题就化为前面已经讨论过的情形了.例例 3 求方程的通解.3232330d xd xdxxdtdtdt解解 特征方程,或,即是三重根,因此方程323310 3(1)01的通解具有形状,2 123()txcc tc te其中为任意常数.123,c c c例例 4 求解方程.424220d xd xxdtdt解解 特征方程为,即特征根是重根,因此,方程有四个实42210 i 值解为cos , cos ,sin , sin ,t ttt tt故通解为1234()cos()sin ,cc ttcc tt其中为任意常数.1234,c c c c2.常系数非常系数非齐齐次次线线性微分方程的解
11、法性微分方程的解法2.1 非非齐齐次次线线性微分方程性微分方程5有形状. (2.1)1111 ( )nnnnnnd xdxdL xaaxa xf tdtdtdtL的方程称为非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程. .2.2 比比较较系数法系数法类型类型 I I设,其中及实常数,那么方1 011( )()mmt mmf tb tbtbtbe Lib(0,1,)imL程（2.1）有形如1 011()kmmt mmxtB tBtBtBe L（2.2）特解,其中为特征方程的根的重数,而是待定常数,可以k( )0F01,mB BBL通过比较系数来确定.2.21 当时,则0.1 011( )mm mmf t
12、b tbtbtb L现在再分两种情况讨论.() 当不是特征根时,即,因而,这时取,a0(0)0F0na 0k 以代入方程(2.1)并比较的同次幂系数,得到常数1 011mm mmxB tBtBtB L必须满足的方程01,mB BBL(2.3)001011nnnmnmB ab BamB abB ab L L注意到,这些待定常数可以从方程组唯一地逐个确定出来.0na 01,mB BBL例例 4 求方程的通解.222331d xdxxtdtdt解解 先求对应的齐次线性微分方程22230d xdxxdtdt的通解.这里特征方程有两个根,.22301321 因此 ,其中为任意常数.再求非齐次线性微分方程
13、的一个特解.3 12ttxc ec e12,c c6这里,又因为不是特征根,故可取特解形如,其中( )31f tt00xABt%为待定常数,为了确定,将代入原方程,得到,A B,A BxABt%,23331BABtt 比较系数得,33, 231B BA 因此得,从而.因此,原方程的通解为1B 1 3A 1 3xt%3 121 3ttxc ec et () 当是重特征根时,有,且,b0k(1)(0)(0)(0)0kFFFL( )(0)0kF即 ,且 .110nnn kaaa L0n ka则方程(2.1)将变为. (2.4)111( )nnkn knnkd xdxd xaaf tdtdtdtL令,则方程(2.4)可化为k
