微分方程与差分方程简介

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1、第八章 微分方程与差分方程简介 本章内容简介 第八章 微分方程与差分方程简介 本章内容简介 从本质上说，函数是用变量来刻画客观事物内部联系的，因此利用函数关系 就可以对客观事物的规律性进行研究，在实际问题中，如何寻求函数关系具有 十分重要的意义。在许多问题中，我们所要的函数关系可能一时找不到，但是 根据问题所提供的信息，有时可以列出一个含有要找的未知函数及其导数的关 系式，这种关系式就是微分方程，对这种方程进行研究，寻找未知函数的过程， 我们称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的解 微分方程的方法。 本章基本要求 本章基本要求 1 理解下列基本概念：微分方程、微分方程的

2、阶、微分方程的解、微分 方程的通解、微分方程满足某个初始条件的特解。 2 会识别和求解可分离变量的方程与一阶线性微分方程。 3 会利用降阶法求解特殊的高阶微分方程。 4 了解二阶线性微分方程解的基本定理和二阶线性微分方程通解的结 构。 5 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法， 了解简单的二阶常系数线 性非齐微分方程的解法。 6 会运用微分方程对一些简单的经济学问题进行分析。 本章重点 本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解 法，二阶常系数线性微分方程的解法。 内容提示与分析 内容提示与分析 8.18.1 微分方程的一般概念 微分方程的一般概念 1 微分方

3、程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其 一般形式为 。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4 n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。 8.28.2 一阶微分方程一阶微

4、分方程 一阶微分方程的一般形式是 一、可分离变量的一阶微分方程 如果一阶微分方程能表达成 则称此方程为可分离变量的 一阶微分方程。 设 ，则将变量分离后得 然后两边积分 即可得微分方程通解。 二、齐次方程 齐次微分方程的标准形式为 令 两边求导，有 代入原方程得 这是一个可分离变量的方程， 求解后用 代回， 即可得原方程的通解。 三、一阶线性微分方程 未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程 （1） 称为一阶线性微分方程。若 ，得 （2） 称为一阶线性齐次方程，此时可将方程（2）分离变量，得 得(2)的通解为 （3） 其中 为任意常数。若 ， 则方程(1)称为一阶线性非齐次方程，下面我们来求方程

5、(1)的通解。 用常数变易法，将与（1）对应的齐次方程（2）的通解（3）中的任意常数 C，换成待定的函数 u(x)，即设 （4） 是(1 )的解。由于 （5） 将（4）和（5）代入（1）得 积分得 代入（4）得 这就是（1）的通解。 所以，一阶线性非齐方程式 的通解是。 8.38.3 可降阶的高阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 一、 型 微分方程 的右端仅含有自变量是 x,将两端积分一次，就得到 一个 n-1 阶微分方程 再积分一次，得 依次进行 n 次积分，便得含有 n 个任意常数的通解。 二、 型 方程右端不显含未知函数 y， （可能含有 y） ，从 而原方程化为以 为未知函数的一阶方程：

6、 如果能求出上述方程的通解 再由方程 可求得原方程的通解： 3. 型 方程右端不显含自变量 。由于 方程就化为 如能求出通解 ，即 利用分离变量法，可以进一步求得原方程的通解为 8.48.4 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性齐次方程 二阶常系数线性齐次方程，其标准形式是 ，其中 a,b,c 是常数，a0。 定理 1 如果函数 的两个特解，则 也是方程 的解，其中 为常数。 求解微分方程 可以通过求解其相应的特征方程 的根而得。 若 为相异实根， 方程通解为： 为重根， 方程通解为： 时，特征方程有一对共轭的复根 方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶

7、常系数线性非齐次方程，其标准形式是 ， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。 定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方程的通解，则其和 为线性非齐次方程的通解。 定理 3 设 y1是非齐次方程 的一个特解， y2是非齐次 方程 是非齐次方程 的个特解。 这就是线性非齐次微分方程解的迭加原理。 对于右端项具有特殊形式的线性非齐次方程，其通解可以根据右端项的形 式与相对应的线性齐次方程，通过待定系数法求得。 下表为特殊的右端项 的特解形式： 表中 是已知 n 次多项式，而 是待定的 n 次多项式。 单元测试单元测试 一、选择题一、选择题 1、微分方程 的阶

8、数是 ( ) A、3 B、5 C、2 D、4 2、下列函数中为微分方程 xdx+ydy=0 通解的是 ( ) A、x+y=c B、 C、cx+y=0 D、 3、按照微分方程通解定义， 的通解是 ( ) A、 B、 C、 D、 (其中 C1 , C2 是任意常数) 4、微分方程 的通解是 ( ) A、 B、 C、 D、 5、下列微分方程中可分离变量的是 ( ) A、 B、 C、 D、 6、微分方程 满足初始条件 y（0）=1 的特解为 ( ) A、 B、 C、 D、 7、在下列函数中，哪个是微分方程 的解 () A、 B、 C、 D、 8、微分方程 满足 的特解是 ( ) A、 B、 C、 D、

9、 9、微分方程 2ydy-dx=0 的通解为 ( ) A、 B、 C、 D、 10、方程 的通解为 y= ( ) A、 B、c+x C、 D、cx 11、微分方程 cosydy=sinxdx 的通解是 ( ) A、sinx+cosy=c B、cosx+siny=c C、cosx-siny=c D、cosy-sinx=c 12、微分方程 的通解是( ) A、arctanx+arctany=c B、tanx+tany=c C、lnx+lny=c D、cotx+coty=c 13、方程 的通解是 ( ) A、 B、 C、 D、 14、微分方程 的通解为 () A、 B、 C、 D、 15、微分方程

10、的通解是 ( ) A、 B、 C、 D、 二、计算题(一）二、计算题(一） 1、求微分方程 的通解。 解：将微分方程分离变量得 两端积分得 故通解为 （C 为任意常数） 2、求微分方程 满足初始条件 的特解。 解：将原方程写为 ， ，即 两端积分得 故通解为 由条件 ，得 C=2 故所求特解为 . 3、求微分方程 满足条件 的特解。 解：分离变量得 两端积分 即 以 代入求得 C= 于是所求特解为 4、求解微分方程 解：原方程即 通解 = 5、 求微分方程 的通解 解： 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式， 得 = = = （c 为任意常数） 例 1例 1微分方程 的阶是 ( ) A.1 B.

11、2 C.3 D.4 解：由于微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数，这里最高是 y“因此，所给方程是二阶微分方程，故应选（B） 例 2例 2方程 满足初始条件 的特解是 ( ) A. B. C. D. 解：四个选择支中，满足 的是（A）（B）和（C），因此可将（D）排除在外。对（A） 代入原方程，等号不成立，对（B） 代入原方程，等号成立，即 是原方程满足 的特解。 故应选（B） 例 3例 3已知微分方程 。 （1）验证 （C 为任意常数）是该方程的通解； （2）求出方程满足初始条件 的特解。 解：（1）由于 ，所以 ，将两式代入原方程，得 ，两端恒等，根据微分方程解的定

12、义知 为原方程的解。又由于原方程是一阶微分方程， 中含有一个任意常数 C，故 是原方程的通解。 （2）将 代入通解，得 C=2，因而 是原方程满足初始条件 的特解。 例 4例 4求 满足初始条件 y（0）=0 的特解。 解：易见，所给方程为可分离变量的方程，分离变量后得 两 端积分得 记 ，注意到 也是方程的解，令 C 为任意常数，则所给方程的 通解为 。 由初始条件 y（0）=0，代入通解中得 C=1，于是所求特解为 。 注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)， 只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数 写为 lnC，最终

13、 C 是任意常数。 例 5例 5求微分方程 的通解。 解：原方程可改写成 它是一个齐次方程。 令 即 y=xu， 从而 代入原方程得 整理得可分离变量的方程 两端积分，得 ln(u+5)=lnx+lnc，即 u+5=Cx，以 代入，即得 为原方程的通解。 注意 对于齐次方程，我们是用变量代换 将其变换为可分离变量的 方程然后求解的。 例 6例 6求微分方程 的通解。 解法 1：将原方程变形，得 为一阶线性非齐次方程，用公式法求解。此处 有 为所求通解。 解法 2：用常数变易法，方程 相应的一阶线性齐次方程为 分离变量得 两边积分 一阶线性齐次方程通解为 用常数变易法，把 C 改成 设原一阶线性

14、非齐次方程的解为 那么 代入原方程 积分 u（x）=-cosx+c. 因此，一阶线性非齐次方程的通解为 . 解法 3：将原方程变形为 也就是 即有 xy=-cosx+C， 所以，原方程的通解为 . 注意：这里给出了三种解法，建议考生熟练掌握第一种解法，比较简洁，操作 性强。 例 7例 7求微分方程 满足初始条件 的特解. 解：将原方程变形为 是一阶线性非齐方程， ,用公式法， 因此 这是一阶线性非齐方程的通解。 将 代入，得 c=1-e，故所求特解为 注意，这里用直接代公式的方法解方程，有兴趣的考生可以参照上例，用 其他两种方法求解。 例 8例 8求微分方程 满足 的特解。 解：将原方程变形为

15、 它是一个右端不显含 x 的可降阶方程。 令 代入原方程得 先分离变量再两端积 分，得 。 将初始条件 代入上式，有 . 所以， ， 结合条件 可得 ， 先分离变量再积分， 得 ， 由 代入上式解得 。于是，原方程的特解为 。 注意：这是二阶微分方程的问题，为使计算简化，在解题过程中及时利用初始条件确定了任意常数 的值，考生在今后解题过程中也要注意应用这种 方法。 例 9例 9求下列二阶常系数微分方程的解。 解：（1）该方程的特征方程为 其特征根为 。 所以，该方程的通解为 。 （2）该方程的特征方程为 其特征根为 。 所以，该方程的通解为 。 （3）该方程的特征方程为 其特征根为 。 所以，该方程的通解为 。 （4） 该方程的特征方程为 其特征根为一对共轭复根 。 所以，该方程的通解是 。 （5）该方程的特征方程为 有一对共轭复根 。 所以，该方程的通解为 。 例 10例 10设有微分方程 ，试根据下列不同的 f(x)，设出其相应特解 的形式。 解：方程对应的齐次方程的特征方程为 其特征根为 。 （1）由于=