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1、均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡法均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡法LU Ai-zhong, ZHANG NingInstitute of Hydroelectric and Geotechnical Engineering, North China Electric Power University,Beijing 102206, China摘要：本文假定坡体滑动前为只受到重力作用的弹性体，在坡体应力分布已知的情形下，根据坡体滑面所满足的Mohr-Coulomb准则，利用极限平衡法对坡体进行稳定分析。所提出的方法与以往方法不同，不用将滑体划分成垂直条块，不用假定滑面上的法向应力分
2、布形式，而是直接利用坡体的弹性应力解进行求解。当已知坡体的容重、粘聚力、内摩擦角c、坡角和坡高时，可以获得求解最小安全系数及相应滑面位置的显式表达式；当已知坡体的、时，若H* sFc给定设计坡角及安全系数，则可以通过显式表达式求出坡体所能达到的最大坡高，由此式推演的直立坡) 1(*sFmaxH体极限高度及相应滑面位置与Terzaghi和塑性理论获得的结果完全相同，并通过获得的公式证明了：只有当坡角大于坡体的内摩擦角时，边坡才有发生滑动的可能，这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的；当已知坡体的、时，若给定设计坡高及安全系数，则可以通过一个非线性方程求出坡体所能达
3、到的最大坡角。cH) 1(*sFmax关键词：边坡稳定分析；弹性极限平衡法；安全系数；最大坡高；最大坡角；解析解1、引言、引言极限平衡法是边坡稳定性分析中最早出现的方法。早期的极限平衡法主要有:Fellenius法(1936)、 Bishop法(1965)、Janbu法(1973)、Morgenstern-Price法(1965)、Spencer(1967)、Sarma法(1973，1974)。几十 年来，极限平衡法一致被广泛应用。极限平衡法的基本假设是边坡变形破坏时，滑面为平面或圆弧面， 滑面满足Mohr-Coulomb破坏准则。计算时，将滑动体一般划分成若干个垂直条块，并假定每个条块为刚
4、体，各种方法的主要区别在于相邻条块之间内力的假定不同。方法的实质是通过各条块的静力平衡方程 对边坡安全系数进行求解。 极限平衡法自提出以来，得到了不断的改进和发展。Maslov(1990), Zhu (2002), Zheng (2009) sequentially proposed some analytical methods that satisfies the conditions of equilibrium and permits calculation without dividing the sliding mass into vertical elements (column
5、s or slices)；All methods are based on different assumption regarding the normal stress distribution along the slip surface. Espinoza and Muhunthan(1994), Zhu(2003)试图建立一个统一的框架来包容所有的极限平衡法。 极限平衡法虽然有很好的应用价值，但在理论上存在一定的缺陷，譬如：将坡体视为不可变形的刚 体，这与实际情形不符，实际边坡从变形到破坏的整个过程中都是一个变形体；相邻条块之间内力或the normal stress distrib
6、ution along the slip surface假定是否合理？求解时只是利用了平衡方程，是否满足变形 协调方程？这是经典极限平衡法无法问答的问题。 Zhang(1999)提出了Slope stability analysis based on the ideas of the limit analysis and the rigid finite element method to avoid条块间内力假定的drawbacks。Jiang and Magnan(1997)将limit analysis与methods of slices进行了比较。 随着计算技术的发展，有限元法在边坡稳
7、定性分析中得到了应用，这类方法将边坡视为可变形的弹 性体，可以采用精确的本构关系，避免了极限平衡分析法中将滑体视为刚体而过于简化的缺点。这可以 保证边坡在滑动前不但满足平衡方程，而且满足变形协调方程，但传统的有限元法不能直接求得边坡安 全系数。Giam and Donald(1988)提出了一种由有限元计算得到的应力场确定临界滑动面及最小安全系数的 模式搜索方法；Kim and Lee(1997)也提出了相应的方法。Ugai(1989)，Matsui and San(1992)，Griffths(1999)利用强度折减法通过不断增大折减系数，直至边坡发生失稳破坏，将此时的折减系数定义为边坡的安
8、全系 数。但此类方法计算工作量较大，定义的安全系数物理含义也不够明确。 能否如何寻求一种物理意义明确、假设条件较少，计算工作量又小的边坡稳定分析方法，这正是本 文要研究的问题。2、弹性极限平衡方法原理、弹性极限平衡方法原理本文假定坡体只受到重力作用，坡体滑动前为弹性体。将坡体视为平面应变问题，在坡体应力分布 已知的情形下，根据坡体滑面所满足的Mohr-Coulomb准则，利用极限平衡法对坡体进行稳定分析。 Hou(2009)最早利用坡体弹性应力解，在假定滑面为平面的情形下用算例对坡体进行了稳定分析，但没有 获得便于应用的解析解，并且文中定义的安全系数为抗滑力矩和滑动力矩之比，这也值得商榷，对平
9、面 滑动应该利用抗滑力和滑动力定义安全系数。BOnndydxy=f(x)Ayxds图 1 可能滑面 AB 上任一点所受到的法向正应力和切向剪应力nn本文也假定滑面为平面，对于均匀岩质边坡，滑面一般为平面，定义抗滑力和滑动力之比为安全系数。对于岩质或土质边坡，只要其材料组成大致均匀，就可以简化成如图1所示的下部及右侧无限长的均质弹性体，其顶面水平，边坡倾角为。坡体只受到重力作用时，若岩体的容重为，则利用平面弹性力学的逆解法，可以求出坡体内每一点的应力分量为(Gu，1994)：(1)2121,tantantanxyxyxyyy ,本文规定以压应力为正。根据式(1)给出的、向的正应力、及剪应力，可以
10、求出曲线xyx yxy上任一点的法向正应力和切向剪应力(图1)：)(xfy nn(2)xyxynxyyxnmllmlmml)()(,22222 式中(3)dsdxmdsdyl ,根据前面的定义，则安全系数为sF(4) BAnBAns dsdsc F )tan(式中 ，分别为坡体的粘聚力和内摩擦角。表示滑面达到极限平衡状态时所能cBAndsc)tan()(xfy 提供的抗滑力，表示坡体AOB实际受到的滑动力。将式(1)-(3)代入式(4)，可得BAnds(5)(xyFFss式(5)是关于函数的一个泛函，通过点B，使式(5)达到最小的曲线就是坡体的可能滑动)(xfy )(*xfy 面。若，则坡体A
11、OB必沿滑动；若，则坡体AOB处于临界滑动状态；若1)(*xyFs)(*xfy 1)(*xyFs，则坡体AOB一定处于稳定状态。寻求的过程实际是一个泛函极值问题，1)(*xyFs)(*xfy 的形状取决于 ，的大小。为了简单起见，本文只讨论滑面为一平面的情形，即为)(*xfy c)(*xfy 一直线。设可能滑面与水平面的夹角为(图2)，则式(5)关于函数的泛函极值问题转化为关于待)(xfy 求变量的函数极值问题。HH/(1/tan-1/tan)yxAOBy=-xtan+H(1-tan/tan)图 2 坡体的可能平面滑动位置3、坡体稳定系数、坡体稳定系数及相应滑面位置的确定及相应滑面位置的确定*
12、 sF由图2可得可能滑面的直线方程为(6) tantan1tanHxy将式(1)，(2)代入式(4)，则式(4)中的为dsn(7) dsdsdxdyy dsdxydsdyyxdsn 2222tan2 tan2 tan1 将式(6)代入式(7)得 dsdyHxxdsn22)( tantan1tan tan2 tan1 dsdxHx2)( tantan1tan (8)dsdxdyHx tantan1tan tan2式(8)中，dxdxdxdydydxdscos11)()(2 22 dx tgdxdxdydxdydy dsdxdydxdxdydx dsdx sin 11,cos1)(2222 dxd
13、xdydx dxdydxdydxdxdydxdydxdydxdy dsdycostan111)()(2222222 将上面这些式子代入式(8)可得：(9) tan2costan tan2costan sintantan1tan tansintan2 tantan1tan costantantan1tan2 tantan2 tan1tan costan cos)()(22tan1 tan1tantan1 tan1tantan1 tan1tan22tan1 tan1tan2HHcHdxHxdxHxdxHxdxcdstgcdstgcHHHHHHHHBAABnn 同理可得式(4)中的为dsndxHxd
14、xxHxdsn tantan1tan tan)tan1 (costantan1tan tantan2 tansin2由此可得(10) tan2)tan(tancostantan1 tan1tan1tantancostantan1tantan2tantan2tantansin2tan1 tan1tan22tan1 tan1tan HdxHxdxHxxdsdsHHHHBAABnn由式(4)，(9)，(10)可得安全系数为(11) tantan cossin)tan(tantan2HcFs由式(11)可以看出：是的函数，当和时，这说明式在区间具sF0sFsF), 0(有极小值。图3给出了，而分别取，二种坡角情3/25mKNKPac500003 mH300o60o90形下，不同所对应的安全系数。由图3的确可以看出：在内，具有极小值。sF), 0(sF0123456789510 20
