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1、1,图论及其应用,应用数学学院,2,图论及其应用 作者: 张先迪、李正良 购买地点：教材科,3,参考文献,1 美，帮迪图论及其应用2 美，Gary Chartrand图论导引，人民邮电出版社，20073 Bela Bollobas，现代图论，科学出版社，2001 中国科学院研究生教学丛书4 美，Fred Buckley图论简明教程，清华大学出版社，2005 李慧霸 王风芹译,4,5 李尉萱，图论，湖南科学技术出版社，19796 美，Douglas B.West图论导引，机械工业出版社，2007 李建中，骆吉洲译7 杨洪，图论常用算法选编，中国铁道出版社，19888 陈树柏，网络图论及其应用，科
2、学出版社，1982,5,9 Chris Godsil，Gordon Royle Algebraic Graph Theory，世界图书出版公司北京公司，200410 王朝瑞，图论，高等教育出版社，1983,6,第一章 图的基本概念,本次课主要内容,图的概念与图论模型,(一)、图论课程简介,(二)、图的定义与图论模型,(三)、图的同构,(五)、顶点的度与图的度序列,(四)、完全图、偶图与补图,7,1、研究对象,图论是研究点与线组成的“图形”问题的一门科学。属于应用数学分支。,(一)、图论课程简介,2、发展历史,图论起源于18世纪的1736年，标志事件是“哥尼斯堡七桥问题,数学家欧拉被称为“图论之
3、父”,20世纪30年代出版第一本图论著作,8,3、应用状况,图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、流体动力学、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。,目前，图论已形成很多分支：如结构图论、网络图论、代数图论、拓扑图论等,4、教学安排,主要介绍图的一些基本概念、基本理论和图论的典型应用。60学时。,9,1、图的定义,(二)、图的定义与图论模型,一个图是一个序偶，记为G=(V,E),其中：,(1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数；,(2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以重复出
4、现多次。用|E|表示边数。,10,图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点表示，E中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。,例1、设图G。这里Vv1,v2,v3,v4Ee1,e2,e3,e4,e5,e6，,e1(v1,v2)，e2(v1,v3)，e3(v1,v4)，e4(v2,v3)，e5(v3,v2)，e6(v3,v3)。,11,图的相关概念：,有限图：顶点集和边集都有限的图称为有限图；,平凡图：只有一个顶点的图称为平凡图；,空图：边集为空的图称为空图；,n阶图：顶点数为n的图称为n阶图；,(n, m) 图：顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图；,边的重数：连接两个相同
5、顶点的边的条数称为边的重数；重数大于1的边称为重边；,环：端点重合为一点的边称为环；,简单图：无环无重边的图称为简单图；其余的图称为复合图；,12,顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为该边的两个端点；,顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点；,边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点；,2、图论模型,为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学模型。,(1) 化学中的图论模型,19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃即碳氢化合物,13,用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间的化学键。,通过这样的建模，能很
6、好研究简单烃的同分异构现象,例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为：,14,(2) 商业中的图论模型,商业中，经常用图来对仓库和零售店进行建模,例如：令V=w1,w2,w3,r1,r2,r3,r4,r5代表3个仓库和5个零售点,E=w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5代表每个仓库和每个零售店间的关联。则图模型图形为：,(3) 最短航线问题,15,用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。,例如：令V=a, b, c, d, e代表5个城市,E=a b, ad, b c , be, de代表城市
7、间的直达航线,则航线图的图形为：,请求出从d到c的最短路,16,(4) 任务分配问题,有一个旅行团要组织一批人去旅游，其中一些人是朋友他们要乘坐公共汽车去，而车上的位子是成对的。因此为了让大家旅途更愉快，旅行团负责人需要将成对的朋友安排在一起。给出一种安排方案。,该问题可以建立一个图论模型来解决：旅行团的人抽象为图的顶点，两个顶点连线，当且仅当两个顶点代表的人是朋友。,问题归结于在模型图中求所谓的“匹配”，关于图的匹配将在第五章介绍。,17,(5) 考试时间安排问题,一个教授需要对期末考试时间进行安排，使得学生们不会有相互冲突的考试。如何解决？,该问题可以建立一个图论模型来解决：待考的课程可抽
8、象为图的顶点，连接两个顶点的边表示至少有一个学生同时选择了这两门课程。,问题归结于在模型图中求所谓的“顶点着色方案”问题，该问题将在第七章讨论。,例如：有a, b, c ,d, e, f 六门课程。按照上面方法建立的模型图如下：,18,一种可行的安排方案为：第一时间：a, d, e;第二时间：b, f ；最后：c.,另一种可行的安排方案为：第一时间：a, e;第二时间：c, d ；最后：b, f .,(6) 旅行售货员问题,一电脑代理商要从她所在城市出发，乘飞机去六个城市，然后回到出发点，如果要求每个城市只经历一次，能否办到？给出行走方案。,19,问题归结为在模型图中寻求所谓的“哈密尔顿圈”问
9、题。将在第四章介绍。,例如：如果模型图如下：,该问题可以建立一个图论模型来解决：城市抽象为图的顶点，边代表城市间的直达航线。,可行方案: (1) h, d, e, c, b, a, h (2) h, d, e, c, a, b, h,20,在图论中，一个很值得研究的问题是如何比较两个图的异同，这就是图的同构问题。,定义：设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1u2v1v2, u1,v1 V1, u2,v2 V2; u1v1 E1,当且仅当u2v2 E2,且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：,由定义可以得到
10、图同构的几个必要条件：,(三)、图的同构,(1) 顶点数相同；(2) 边数相同；(3) 关联边数相同的顶点个数相同。,21,判定图的同构是很困难的，属于NP完全问题。对于规模不大的两个图，判定其是否同构，可以采用观察加推证的方法。,例2 证明下面两图不同构。,证明:u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同。所以，两图不同构。,22,例3 证明下面两图同构。,证明:作映射f : vi ui (i=1,2.10),容易证明，对vi v j E (a),有f (v i vj,),ui,uj,E,(b) (1 i 10, 1j 10 ),由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。,23,例4 指出
11、4个顶点的非同构的所有简单图。,分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进行枚举。,24,(四)、完全图、偶图与补图,1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图 .,在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn,容易求出：,25,2、所谓具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中.,完全偶图是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为 K m, n,图1与图2均是偶图，图2是K2,3,2
12、6,3、对于一个简单图G =（V, E），令集合,则图H =（V，E1E）称为G的补图，记为,例如，如下两个图是互补的。,定理：若n阶图G是自补图( ),则有：,证明：n阶图G是自补图，则有：,27,所以：,由于n是正整数，所以：,(五)、顶点的度与图的度序列,G的顶点v的度d (v)是指G中与v关联的边的数目，每个环计算两次。,1、顶点的度及其性质,分别用(G)和(G)表示图G的最小与最大度。,28,奇数度的顶点称为奇点，偶数度的顶点称偶点。,设G = (V, E)为简单图，如果对所有 ，有,d (v) = k，称图G为k-正则图,定理： 图G= (V, E)中所有顶点的度的和等于边数m的2
13、倍，即：,证明：由顶点度的定义知：图中每条边给图的总度数贡献2度，所以，总度数等于边数2倍。,注：该定理称为图论第一定理，是由欧拉提出的。欧拉一身发表论文886篇，著作90部。该定理还有一个名字：“握手定理”。,29,推论1 在任何图中，奇点个数为偶数。,证明：设V1,V2分别是G中奇点集和偶点集.则由握手定理有：,是偶数，由于 是偶数， 所以 是偶数，于是 是偶数。,推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数 。,证明 ： 设G是k-正则图，若k为奇数，则由推论1知正则图G的点数必为偶数,例4 与是简单图G的最大度与最小度，求证：,30,证明：由握手定理有：,所以有：,2、图的度序列及其性质,一
14、个图G的各个点的度d1, d2, dn构成的非负整数组 (d1, d2, dn)称为G的度序列 。,任意一个图G对应唯一一个度序列，图的度序列是刻画图的特征的重要“拓扑不变量”。,31,图G 的“拓扑不变量”是指与图G有关的一个数或数组(向量)。它对于与图G同构的所有图来说，不会发生改变。,一个图G可以对应很多拓扑不变量。如果某组不变量可完全决定一个图，称它为不变量的完全集。,定理：非负整数组(d1,d2,., d n)是图的度序列的充分必要条件是： 为偶数。,证明：必要性由握手定理立即得到。,如果 为偶数，则数组中为奇数的数字个数,必为偶数。按照如下方式作图G:若di为偶数，则在与之对应的点
15、作di/2个环；对于剩下的偶数个奇数，,32,两两配对后分别在每配对点间先连一条边，然后在每个顶点画dj-1/2个环。该图的度序列就是已知数组。,一个非负数组如果是某简单图的度序列，我们称它为可图序列，简称图序列。,关于图序列，主要研究3个问题：,(1) 存在问题：什么样的整数组是图序列？,(2) 计数问题：一个图序列对应多少不同构的图？,(3) 构造问题：如何画出图序列对应的所有不同构图？,研究现状: (1)彻底解决了，(2)解决得不好，(3)没有解决。,33,定理：非负整数组,是图序列的充分必要条件是：,是图序列。,证明：,设G是对应的简单图，d (vi)=di,情形1：点v1与点v2,v3,vd1+1邻接，则G-v1的度序列正好为1,34,情形2：点v1与点vd1+2，.vn的某些顶点邻接。在这种情况下，作如下假设：设v1与vj0邻接，但当kj0时，v1与vk不邻接；又设v1与vi0不邻接，但当ki0时，v1与点vk邻接。,则在图中，必然存在点v m，使得v m与vi0邻接，但是它与vj0不邻接，否则，有dj0di0+1,矛盾！,
