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1、 映射集合线性空间的同构直和和并子空间与子空间的运算与坐标变换过度矩阵线性空间的基变换坐标基线性空间的维数,:)(,一线性空间的同构（基本概念）同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构二习题举例例 1：求线性空间的维数1）数域 P 上所有反对称矩阵组成的线性空间。2) 1( nn2）数域 P 上所有上三角形矩阵组成的线性空间。2) 1( nn例 2：证明：Pn的任意一个真子空间都是若干个 n-1 维子空间的交。证明：设 V 是 Pn的任意一个真子空间，不仿设 V=L()，rL,21)(nr 它是线性方程组的解空间， , 0, 0, 0)(11)(22221211212111nnrnrnn
2、nnnxbxbxbxbxbxbxbxbLLLLLLLL记为线性方程组，k=1,2,n-r 的解向kW02211nknkkxbxbxbL量空间,显然是 Pn的 n-1 维子空间，且 V 恰好是这 n-r 个 n-1 维子线性空间的定义习题课空间的交。例 3 设是 n 维线性空间 V 中的 n 个向量，V 中的每个向量nL,21都可以由它们线性给出，求证：是 V 的一组基。nL,21证明：只须证明线性无关，事实上，如果是nL,21rkrrL,21的一个极大线性无关组，则是 V 的一组基，所nL,21rkrrL,21以，向量组就是向量组，是线性无关。nk rkrrL,21nL,21例 4：在中求齐次
3、线性方程组 ，5R 02203224022543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx的解空间的维数与一组基。解： 211213224111122 A 5336053360211210000035112021121；解空间的维数是 3，一组基是 00000351120310001)6 , 0 , 0 , 5 , 2()0 , 2 , 0 , 1, 0(),0 , 0 , 2 , 1 , 0(321例 5：设，证明：实数域上矩阵 0110AA 的全体实系数多项式组成的空间与)(Af 0110| )(AAfV复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间同构。,|RbabiaV证明：注意
4、到，则， 偶数当奇数当kEkAAk,RbabAaEAf,;)(建立 V 到的映射：，是同构映VRbabAaEAfbiaz,)(:射；所以 V 与同构。V练习：1复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间，与 R2同构。2是同构映射，V1是 V 的子空间。证明：是 W 的子WVf:)(1Vf空间。3证明：线性空间可以与它的一个真子空间同构。xF证明：令，)()(| )()(xFxfxuxfV)()()(:xuxfxfVxF4在中求齐次线性方程组：5R 062203345032305432543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx的解空间的维数和一组基。答：解空间的维数是
5、3，一组基是 ) 1 , 0 , 0 , 6, 5()0 , 1 , 0 , 2, 1 (),0 , 0 , 1 , 2, 1 (3215已知是有理数域 Q 添加所得的数域，试求作为 Q)2(Q,2)2(Q上的线性空间的维数及一个基。解：可证=W,|212121QaaaaW)2(iQ维数是 2：一个基是。2, 11设为数域 P 上 n 维向量的全体构成的线性空间，证明：nP（1）存在子空间 V1，其中每一个非零向量的分量都不为零：（2）若子空间 V2每个非零向量的分量都不为零，则 V2必为一维子空间。2设 W，U 是线性空间 V 的两个子空间；（1）试问 W+U 与是否相等？举例说明。UW （
6、2）证明的充分必要条件是UWUWWUUW或,解答：（！）不一定。V 是直角坐标平面，W，U 分别是 x,y 轴，则x,轴上的非零向量与 y 轴上的非零向量的和属于 W+U 但不属于。UW （2）充分性：若，则=U，从而有UW UW UUW，同样可证明当时等式也成立。必要性：若UWUWWU ，但，即存在，任取，则UWUWUW UW但,U，可证，且，即 ，故UW UWW。WU 总结练习一、填空1线性空间的两个子空间与的和是直和，则 VWUUW；线性空间中，由基3R) 1 , 0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 , 0(),0 , 0 , 0 , 1 (432
7、1到基；的过度矩阵是 )3 , 2 , 3 , 1 (),1 , 2 , 1 , 1 (),1 , 1 , 2 , 1 (),1 , 1 , 1 , 1 (4321；3设线性空间 V=L（）维数是 3，则 V 的所有子空间的个321,数是 ；由生成的子空间的个数是 ；321,4写出线性空间中的向量在基 3R)7, 2 , 6(下的坐标 ；) 1 , 1, 1 (),5, 2 , 3(),3, 1 , 2(3215.数域 P 上的所有 nn 的上三角形矩阵构成的线性空间的维数是 。二、判断对错6线性空间中的非零向量可以有两个负向量。( )7线性子空间的维数不能大于原线性空间的维数。 （ ）8设是
8、线性空间 V 的两个子空间，则也是 V 的一个线性21,VV21VV 子空间。9实数集在数的加法与乘法运算下构成有理数域上的线性空间。 （）10如果线性空间与它的一个非平凡子空间同构，则此线性空间是无限维空间。三、选择题11复数集在数的加法与乘法运算下是实数域上的线性空间，它的维数是（） 。A1 ； B2 ； Cn ； D无限维。12R4的子空间 W= 的维数等于（） 。)1 , 0 , 1 , 0(),0 , 1 , 0 , 1 (),1 , 1 , 1 , 1 (),1, 1 , 1, 1(LA1 ； B2 ； C3 ； D4 。13设是 A 的所有实系数多项式组成的集合，在多项VA,11
9、11 式矩阵的加法与数乘运算下构成 R 上的线性空间，则维（V）等于（） 。A1 ； B2 ； Cn ； D 无限维 。14下列集合对于给定运算构成实数域上线性空间的是（ ） 。A全体 n 阶方阵的集合 V，在加法：与通常数乘矩BAABBA阵的运算；B实 n 维向量的集合，按通常向量的加法1| ),(121 niinaaaaVL与数乘运算；C实数域 R 上全体对数 的集合 V，按通常对数的加法)0(lgxx与数乘对数的运算；D平面上始点在原点终点在第一象限的全体向量集合 V，按通常向量的加法与数乘向量的运算。15设是线性空间 V 的两个子空间，则=的充分必21,VV21VV 21VV 要条件是
10、（ ） 。A；B； C； 2121,VVVV或021VVVVV21D= 。21VV 21VV 四、计算题1试讨论 R22的向量的线性 0111,1011,1101,11104321相关性。 （线性无关）2已知 R3的两组基：),3 , 2 , 1 (),2 , 1 , 1 (),1 , 1 , 1 (321eee到基),0 , 1, 1 (),1, 1 , 1 (),3 , 2 , 1 (321求（1）由基的过度矩阵；321321,到eee（2）求在基下的向量在基下的坐标。321,) 1, 1 , 1 (321,eee3已知，求),1 , 3, 2(),1 , 0 , 1 (21)0 , 1
11、, 0(),2 , 1, 3(21的维数与一组基。),(),(2121LL4已知，) 1, 1 , 0 , 1(),1 , 1 , 1 , 3(),2, 1, 2 , 1 (321，)3 , 7, 2 , 1(),5, 6, 5 , 2(21求的维数与一组基),(),(21321LL5在 R4中，求由齐次线性方程组 确定的解 0030220243142143214321xxxxxxxxxxxxxx空间的维数与一组基。五、证明题1.设是线性空间 V 的两个子空间，证明：=的充要21,VV21VV 21VV 条件是 维（）=维（21VV )()21VV维证明：=的充要条件是21VV 21VV 02
12、1VV由维数公式：维（）+维=维（知；21VV )(21VV )()21VV维021VV的充要条件是 维（）=维（。21VV )()21VV维2.证明：设 W 是 n 维线性空间 V 的一个子空间，则存在 V 的子空间U 使得 V 是 W 与 U 的直和。证明：设是 W 的一组基，因为线性无关，可扩s,21Ls,21L充成 V 的一组基，令，则nss.,121LL),(21nssLUL。UWV3.设是线性空间 V 的两个非平凡子空间，证明：存在，且21,VVV与同时成立。1V2V证明：由于是线性空间 V 的两个非平凡子空间，存在21,VV，；如果，取，如果，111,VV但222,VV但21V112V取，不然，则令；就有，且21221VV且21V， 。1V2V
