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1、一种用于解决非线性滤波问题的新型粒子滤波算法一种用于解决非线性滤波问题的新型粒子滤波算法 王法胜 赵清杰 （北京理工大学计算机科学技术学院 北京 100081）摘摘 要要 粒子滤波算法受到许多领域的研究人员的重视，该算法的主要思想是使用一个带有 权值的粒子集合来表示系统的后验概率密度。在扩展卡尔曼滤波和 Unscented 卡尔曼滤波 算法的基础上，本文提出一种新型粒子滤波算法。首先用 Unscented 卡尔曼滤波器产生系 统的状态估计，然后用扩展卡尔曼滤波器重复这一过程并产生系统在 k 时刻的最终状态估 计。在实验中，针对非线性程度不同的两种系统，分别采用五种粒子滤波算法进行实验。 结果证
2、明，本文所提出算法的各方面性能都明显优于其他四种粒子滤波算法。 关键字关键字 非线性滤波;扩展卡尔曼滤波器;Unscented 卡尔曼滤波器;粒子滤波器;MKPF1引言引言 众所周知，卡尔曼滤波器1-2是解决线性高斯问题的最优滤波方法，但是在现实世界中， 人们所面临的问题大都是非线性非高斯的，因此非线性滤波问题是极为普遍的，许多领域 都涉及到，其中包括统计信号处理、经济学、生物统计学，以及工程领域中的通信3、雷 达跟踪4、目标跟踪5,6、汽车定位7、导航7-8、机器人定位9-12等等。解决非线性滤波问题最为普遍的方法是扩展卡尔曼滤波器(extended Kalman filter, EKF)。
3、 但是该方法只适用于弱非线性的系统，对于强非线性系统，很容易导致发散。最近，研究 人员提出一种新的用于解决非线性滤波问题的滤波器，它是基于这样一种考虑：近似一种 高斯分布要比近似任何一种非线性方程容易的多。他们将这种滤波器称为 Unscented 卡尔 曼滤波器(UKF)13-15。实验证明 UKF 给出的估计结果比 EKF 更准确，尤其是它能给出更 精确的系统状态方差估计。然而，UKF 的使用具有一定的限制，它不适用于一般的非高斯 分布的模型。 解决非线性滤波问题的一种更新的方法是粒子滤波器(particle filter, PF)，其基本思想是 用一组带有权值的粒子集合来表示解决问题时需要
4、的后验概率密度16，然后用这一近似的 表示来计算系统的状态估计。在过去几年里，粒子滤波器在许多领域取得了成功的应用。 自粒子滤波器被第一次提出以来，经过几年的发展，现在已经出现多种粒子滤波器，例如 扩展卡尔曼粒子滤波器(EKPF) 13、Unscented 粒子滤波器(UPF) 13、辅助粒子滤波器(Auxiliary particle filter) 17、高斯粒子滤波器(Gaussian particle filter)18、高斯加和粒子滤波 器(Gaussian sum particle filter)19、PARZEN 粒子滤波器20，以及由我国的李良群提出的迭 代扩展卡尔曼粒子滤波器
5、(Iterated EKPF)21等等。 在 EKF 和 UKF 的基础上，本文提出一种新型粒子滤波算法，称之为混合卡尔曼粒子 滤波器(mixed Kalman particle filter, MKPF)。它将 EKF、UKF 一起作为建议分布。在时刻 k，首先用 Unscented 卡尔曼滤波器产生系统的状态估计，然后用扩展卡尔曼滤波器重复这 一过程并产生系统在 k 时刻的最终状态估计。 本文第 2 节介绍了 PF 的基本原理；第 3 节介绍了 EKF 和 UKF；第 4 节结合 EKF 和 UKF，提出了新的粒子滤波算法；第 5 节给出比较实验结果；第 6 节为结论。 2粒子滤波器粒子滤
6、波器 假设动态系统的状态空间模型为：本课题主要受北京理工大学基础基金(200501F4210)及计算机科学技术基金资助,部分受到国家自然科学基 金(60503050)资助.王法胜,男,1983 年生,硕士研究生,主要研究方向为粒子滤波技术及其应用. Email: . 赵清杰,女,1966 年生,博士,副教授,硕士研究生导师.主要研究方向为智能控制技术, 机器视觉,非线性滤波技术,医学图像处理等. Email: .),(11kkkkvxfx(1),(kkkkuxhz (2)表示系统在 k 时刻所处的状态，表示 k 时刻的测量向量，两个函数kxkz和分别表示系统的状态转移函数和测量函数，xvxnn
7、n kf:zuxnnn kh:，分别表示系统的过程噪声以及测量噪声。kvku粒子滤波算法最先由 Gordon 在文献22中提出，它为离散时间的递归滤波问题提供了 一种近似的贝叶斯解决方法，其基本思想是构造一个基于样本的后验概率密度函数。用表示系统后验概率密度函数的粒子集合，其中, i=1,N是支N ii ki kwx1: 0,)|(: 1: 0kkzxpi kx: 0持样本集，相应的权值为，且满足，而表Niwik,.,1, 11 Nii kw,.,0,: 0kjxxjk示到时刻 k 系统所有状态的集合，所以时刻 k 的后验密度可以近似表示为： Nii kki kkkxxwzxp1: 0: 0:
8、 1: 0)()|(3)于是就有了一种表示真实后验密度的离散带权近似表示，而那些关于数学期望)|(: 1: 0kkzxp的复杂计算（通常带有复杂的积分运算）就可以简化为和运算了，如：kkkkkdxzxpxgxgE: 0: 1: 0: 0: 0)|()()(4)可以近似为： Nii ki kkxgwxgE1: 0: 0)()(5)许多粒子滤波器依赖于重要采样技术，粒子权值就是根据重要采样技术来选择的23-24，因此，建议分布的设计就显得非常重要。如果根据重要密度选择粒子，那么粒)|(: 1: 0kkzxq子的权值可以定义为，)|()|(: 1: 0: 1: 0ki kki ki kzxqzxpw
9、 (6)在时刻 k-1，如果已经得到 k-1 时刻后验密度的近似表示的粒子集合，)|(1: 11: 0ki kzxp下一步就是用一个新的粒子集合来近似表示 k 时刻的后验密度。为了得到一种)|(: 1: 0ki kzxp递归的表示方法，可以将选择的重要密度函数因式分解为，)|(),|()|(1: 11: 0: 11: 0: 1: 0kkkkkkkzxqzxxqzxq(7)然后，通过将获得的新状态加入到已知的粒子集合),|(: 11: 0: 0kkki kzxxqxi kx1: 0中，得到新的粒子集合。根据贝叶斯规则，可以得到权)|(1: 11: 0kkzxq)|(: 1: 0: 0kki kz
10、xqx值更新方程如下：=)|(: 1: 0kkzxp)|()|(),|(1: 11: 1: 01: 1: 0kkkkkkk zzpzxpzxzp=)|()|(),|(),|(1: 11: 11: 01: 11: 01: 1: 0kkkkkkkkkk zzpzxpzxxpzxzp=)|()|()|()|(1: 11 1: 11: 0 kkkkkk kkzzpxxpxzpzxp)|()|()|(1: 11: 01kkkkkkzxpxxpxzp(8)将（7）和（8）代人（6） ，得到权值更新方程如下：),|()|()|()|(),|()|()|()|(: 11: 01 11: 11: 0: 11:
11、01: 11: 01ki ki ki ki ki kki kki kki ki kki ki ki ki kki kzxxqxxpxzpwzxqzxxqzxpxxpxzpw (9)为了得到一种更为简单的形式，假设（即假设方程(1),|(),|(1: 11: 0kkkkkkzxxqzxxq所描述的是一个一阶马尔可夫过程） ，这就意味着重要密度只取决于和，因此，修1kxkz正的权值为，),|()|()|(11 1 ki ki ki ki ki kki ki kzxxqxxpxzpww (10)基本粒子滤波算法的一个主要问题是退化问题，即经过几步迭代以后，除了极少数粒 子外，其他的粒子权值小到可以忽
12、略不计的程度。减少退化现象影响的方法一般有两种， 一是选择好的重要密度函数，另一种是使用再采样技术13,22-24。再采样方法就是去除那些 权值较小的粒子，而复制权值较大的粒子。目前存在多种再采样算法，如残差采样、最小 方差采样、多项式采样等。本文使用残差采样算法。 文献13给出了标准粒子滤波器算法。3扩展卡尔曼滤波器与扩展卡尔曼滤波器与 Unscented 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器 3.1 扩展卡尔曼滤波器 扩展卡尔曼滤波器中系统的状态分布用高斯随机变量（GRV）来表示。在某一时刻， EKF 方法将系统的非线性方程在当前关于系统状态 x 的估计处，展开成一阶泰勒展式。 EKF 的具体算法参见
13、文献1,2。 以 EKF 作为建议分布就得到了扩展卡尔曼粒子滤波器（EKPF） 。由于 EKF 用泰勒展 式将系统的非线性方程进行线性化，使得系统的非线性性质不能得到很好的描述，该算法 只能达到一阶的精度。EKPF 的具体算法参见文献13。 3.2 Unscented 卡尔曼滤波器(UKF) Unscented 卡尔曼滤波器(UKF)也是一种递归式贝叶斯估计方法，它利用 Unscented 变 换 (Unscented transformation，UT)方法，用一组确定的取样点来近似后验概率。但是 UKF 不必线性化非线性状态方程和观测方程，它直接利用非线性状态方程来估算状态向量的概 率密度
14、函数。UKF 规定一组确定的取样点，当状态向量的概率密度函数是高斯的，利用这 组取样点能获取高斯密度函数的均值和协方差。当高斯状态向量经由非线性系统进行传递 时，对任何一种非线性系统，利用这组取样点能获取精确到三阶矩的后验均值和协方差。 3.2.1 Unscented 变换 Unscented 变换是计算进行非线性传递的随机向量概率的一种方法15，它是基于这样 一种考虑：近似一种概率分布比近似一种任意的非线性方程或者非线性变换要容易的多14,15。设 x 是维的随机向量，是一非线性函数 z=g(x)，考虑将 x 通过非xnzxnng:线性函数 g 传递，假定 x 的均值和协方差分别为和。为了计
15、算关于 z 的统计量，我们xxP首先选择 2+1 个带有权值的样本点（也称 SIGMA 点）,，使其能够完全获取xn,iiiWS随机变量 x 的真实的均值和协方差。SIGMA 点的选择以及权值的确定是根据以下方程，x0xixxiniPnx,.,1)(xxnixxinniPnx x2,.,1)(11) xm nW)( 0)1 (2)( 0xc nWx xc im ininWW2,.,1)(21)()(12)其中是一个尺度调节因子， 决定了我们选择的 SIGMA 点在其均值xxnn)(2附近的分布情况，通常将 设置为一个很小的正值（如 0.001） 。 是次级尺度调节因子，x通常设置为 0， 是用来结合关于 x 的分布的先验知识（对于高斯分布， 的最佳取值为 2） 。是矩阵平方根的第 i 行，表示第 i 个 SIGMA 点的权值，且满ixxPn)(xxPn)(iW足Wi=1。是用来计算均值(mean)的权值，是用来计算协方差(covariance)的权)(m iW)(c iW值，二者除在初始情况下不同外，在时都是一样的。xni2,.,1将每个 SIGMA 点通过非线性函数向前传递，xiinigZ2,.,0)(13)通过计算可
