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1、向量函数向量函数 泰勒和傅里叶泰勒和傅里叶泛函的思想把函数当做无限维的向量，看起来似乎很抽象，其实很有道理。尤其当你是个写代码的，你甚至可以觉得把函数看做向量是理所当然的。对一个一元函数一元函数 int f(int x)，给定一个 x，返回一个值 y，如果我们想提高效率，可以把计算过的值保存在一个数组里，比如 f(2)=22，就保存 arr2=22，然后当碰到 x=2 时就可以快速的查询到返回值，而不需要重新计算。这就是动态规划里的 memoization。如果我们事先把所有可能的值都存起来，那其实就可以不用调用 f(x)了，直接调用 arrx就可以了。从这里就可以看出来，函数与数组非常相似，
2、了解 stl的人都知道数组与向量基本上是一回事。这种相似不仅存在于程序里。其实，抽象的看，数学意义上的函数、向量，其共同点就是接受一个值，返回一个值。只不过函数的输入叫做自变量，输出叫应变量，而向量输入叫下标，输出叫分量。唯一差别就在于以前向量的分量都是离散的，而函数的自变量可以是连续的。那其实把函数看做向量，分量就是无限维不可列又有何不可？向量有各种运算，加法就是把对应分量的值加起来，对比函数的加法(f+g)(x) = f(x) + g(x)，一样的。最奇妙的还是内积而函数的内积就是此式推广到无限，积分代替求和把函数展开成各种级数，实际上就是把向量分解到一组给定的基。其中最重要的是泰勒级数和
3、傅里叶级数。泰勒级数的好处在于他可以在一个局部把函数按精度降阶排序，大头放前面。展开项数越多，在这一点越精确。但是有所得必有所失，在描述函数整体的时候，泰勒级数就不那么好了。说到整体性就要看傅里叶级数了，这个我了解不多，只知道这是一组标准正交基。每一个 sin，cos 后面都透露出无与伦比的力量。与泰勒级数不同，傅里叶函数项数越多，在整体上越逼近原函数，而这个整体上逼近的定义，是傅里叶级数于原函数只差平方积分。实际上就是方差。其实原函数是一个向量，傅里叶级数是一个向量，二者之差就是一个 error 向量，表示接近程度。而平方积分就是这个向量的模。傅里叶函数所取的项数趋近无穷，则这个方差就可以趋
4、近于 0。也就是在整个定义域上无限接近原函数。傅里叶展开的做法就特别有意思，先假设所有函数都可以写成然后乘上 connx 积分，就可以把除 cosnx 那一项全部滤过，就像筛子一样，一堆 sin，cos 进去，就一项漏出来。这也正是利用了正交的性质，傅里叶级数的每一项的 cosnx，或者 sinnx 都是标准正交基的一个向量，就是说 cosnx 与别的 cosmx，sinmx 都是正交的，内积为 0。求内积自然就可以把别的分量去掉，而求内积就是积分。这在几何上就是求 f(x)这个向量在 cosnx 方向的分量，投影。另外隐约地感到傅里叶级数一个很好的性质就是对整体的描述，他不像泰勒级数是在一个
5、局部无限逼近，而是在整个定义域上，二者就好像连续和一致连续的差别。画素描的时候，很强调整体，就是任何时候一眼看去，东西都是全的，只是细化程度不同。不是从左上角画到右下角，而是时刻保持一个严整的结构。而视频处理中的傅里叶变换就有点这个意思，因为画面上相邻的点像素很可能差不多，所以描述视频的画面与其从左上到右下，不如一开始大块大块的，后面越来越细。我们感兴趣的是取值为 二维和三维的向量值函数，即 n = 2 和 n = 3 的情形。例如，在平面内运动的 质点在 t 时刻的坐标 (x, y)可以描述为 x = f (t), y = g(t)，tI 这样点(x, y) = ( f (t), g(t)形成平面曲线 C ，它是质点的运动路径，它用 参数方程来描述。如果用 r(t)表示从原点到质点在时刻 t 的位置 P( f (t), g(t)的向量，那么 r (t) = OP = f (t), g(t) = f (t)i + g(t)j 定定义义式式r (t) = f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j+ h(t)k 参参数数方方程程 : x = f (t), y = g(t), z = h(t), tI
