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1、1管理运筹学教程管理运筹学教程习题参考答案习题参考答案第一章第一章 线性规划线性规划1、解：设每天应生产 A、B、C 三种型号的产品分别为件。则线性规划模型为：321,xxx0,20005040401200637.3020405max321321321321xxxxxxxxxtsxxxZ2、解：设 5 种债劵的投资额分别为件。则线性规划模型为：54321,xxxxx0,)(2 . 0)(65. 0121830.05. 0055. 0045. 009. 0065. 0max5432121543243215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxZ3、 （1）解：对
2、原问题标准化，令，1x1x333xxx 0,304442544392. 442max543321332153321433213321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxZ（2）解：对原问题标准化，令，1x1x333xxx 0,264425144434192223. 442max543321332153321433213321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxZ（3）解：对原问题标准化，令222xxx 221maxxxxZ 0, 0, 03)(24)(76)(32. 221221221221xxxxxxxxxxxxts24、 （1）解：首先将线性规划模型标准化得
3、：3212maxxxxz 0,202102603.621632153214321xxxxxxxxxxxxxxxtsLcj2-13000XBbx1x2x3x4x5x6ix46031110060x5101-120105x62011-2001 -Z02-13000cj2-13000XBbx1x2x3x4x5x6ix4552.51.501-0.50x350.5-0.5100.50x630200011-Z-150.50.500-1.50cj2-13000XBbx1x2x3x4x5x6ix2110/35/3102/3-1/30x370/34/3011/31/30x630200011-Z-100/3-1/3
4、00-1/3-4/30最优解为 x1 =0，x2 = 110/3 , x3 = 70/3。目标函数值： Z* = 100/3 （2）解：首先将线性规划模型标准化得：0,32227432.6216432154321xxxxxxxxxxxxxtsLcj-51-3-200XBbx1x2x3x4x5x6ix571234103.5x632212011.5-Z0-51-3-2001234max532zxxxx 3cj-51-3-200XBbx1x2x3x4x5x6ix54-10221-1x21.5110.5100.5-Z-1.5-60-3.5-30-0.5最优解为 x1 =0，x2 = 1.5, x3 =
5、 0, x4=0。目标函数值： Z* = 1.5 5、(1)利用大 M 法。 解解:在上述问题中加入松弛变量和人工变量得：0,10527.621653214321xxxxxxxxxxxxtsL这里 M 是一个充分大的正数,取基变量为 x4 , x6 ，可得如下表cj23-5-M0-MXBbx1x2x3x4x5x6ix47111100x6102-510-11-Z023-5-M0-M由于 x4 , x6为基变量，因此它们对应的检验数行的检验数应为 0，经变换得初始单纯形表。cj23-5-M0-MXBbx1x2x3x4x5x6ix471111007x6102-510-115-Z17M2+3M3-4M
6、-5+2M0-M0cj23-5-M0-MXBbx1x2x3x4x5x6ix4203.50.510.5-0.5x151-2.50.50-0.50.5-Z-10+2M08+3.5M-6+0.5M01+0.5M-1-1.5Mcj23-5-M0-MXBbx1x2x3x4x5x6ix24/7010.1428570.2857140.142857-0.14286x145/7100.8571430.714286-0.142860.142857-Z102/700-7.14286-2.28571-M-0.142860.142857-M最优解为 x1 =45/7，x2 = 4/7, x3 = 0。目标函数值： Z*
7、 =102/7利用两阶段法。 先在以上问题的约束条件中加入松弛变量、人工变量，给出第一阶段的线性规划问题：12346max235zxxxMxMx464maxxxw0,10527.621653214321xxxxxxxxxxxxtsL这里取基变量为 x4 , x6 ，可得如下表cj000-10-1XBbx1x2x3x4x5x6ix47111100x6102-510-11-Z0000-10-1由于 x4 , x6为基变量，因此它们对应的检验数行的检验数应为 0，经变换得初始单纯形表。cj000-10-1XBbx1x2x3x4x5x6ix471111007x6102-510-115-Z173-420
8、-10cj000-10-1XBbx1x2x3x4x5x6ix4203.50.510.5-0.5x151-2.50.50-0.50.5-Z203.50.500.5-1.5cj000-10-1XBbx1x2x3x4x5x6ix24/7011/72/71/7-1/7x145/7100.8571430.714286-0.142860.142857-Z0000-10-1这里 x4、x6 是人工变量。第一阶段我们已求得 W = 0,因人工变量 x6 = x4 = 0，所以 (45/7, 4/7, 0 ,0)T 是原问题的基本可行解。于是可以开始第二阶段的计算。将第一阶段的最 终计算表中的人工变量列取消，并
9、将目标函数系数换成原问题的目标函数系数，重新计算 检验数行，可得如下第二阶段的初始单纯形表cj23-50XBbx1x2x3x5ix24/7011/71/7x145/7100.857143-0.14286-Z102/700-7.14286-0.14286所有检验数 j 0，所以 x1 = 45/7，x2 = 4/7 , x3 = 0 是原线性规划问题的最优解。目标函 数值： Z* = 102/7。5(2)利用大 M 法。 解解:在线性规划中加入人工变量得：765214maxMxMxMxxxz 0,4263433.72174216321521xxxxxxxxxxxxxxtsL这里 M 是一个充分大
10、的正数,取基变量为 x5, x6, x7 ，可得如下表cj-4-100-M-M-MXBbx1x2x3x4x5x6x7ix533100100x6643-10010x741201001-Z0-4-100-M-M-M由于 x5, x6, x7为基变量，因此它们对应的检验数行的检验数应为 0，经变换得初始单纯形表。 （红色为答案错误的）（红色为答案错误的）cj-4-100-M-M-MXBbx1x2x3x4x5x6x7ix5331001001x6643-100103/2x7412010014-Z13M-4+8M-1+6M-MM000cj-4-100-M-M-MXBbx1x2x3x4x5x6x7ix111
11、1/3001/3003x6205/3-10-4/3106/5x7305/301-1/3019/5-Z4+5M01/3+10/3M-MM4/3-8/3M00cj-4-100-M-M-MXBbx1x2x3x4x5x6x7ix10.6100.201/15-0.203x21.201-0.60-0.80.60x7100111-111-Z3.6+M000.2+MM1.6-0.2-2M0cj-4-100-M-M-MXBbx1x2x3x4x5x6x7ix10.4100-0.20.40-0.236x21.80100.6-0.200.6x3100111-111-Z3.4000-0.21.4-M-M-0.2-M最优
12、解为 x1 =0.4，x2 = 1.8, x3 = 1。目标函数值： Z* = 3.4利用两阶段法。 先在约束条件中加入人工变量，给出第一阶段的线性规划问题：765maxxxxw 0,4263433.432142132121xxxxxxxxxxxxts取基变量为 x5, x6, x7 ，可得如下表cj0000-1-1-1XBbx1x2x3x4x5x6x7ix533100100x6643-10010x741201001-w00000-1-1-1由于 x5, x6, x7为基变量，因此它们对应的检验数行的检验数应为 0，经变换得初始单纯形表。cj0000-1-1-1XBbx1x2x3x4x5x6x
13、7ix5331001001x6643-100103/2x7412010014-w1386-11000cj0000-1-1-1XBbx1x2x3x4x5x6x7ix1111/3001/3003x6204/3-10-4/3103/2x7304/3011/3019/4-w5010/3-118/300cj0000-1-1-1XBbx1x2x3x4x5x6x7ix10.6100.200.6-0.203x21.201-0.60-0.80.60x7100111-1117-w100110-20cj0000-1-1-1XBbx1x2x3x4x5x6x7ix10.4100-0.20.40-0.23x21.8010
14、0.6-0.200.6x3100111-111-w00000-1-1-1这里 x5, x6, x7是人工变量。第一阶段我们已求得 W = 0,因人工变量 x5 x6 x7 = 0，所以 (0.4,1.8 , 1 ,0)T 是原问题的基本可行解。于是可以开始第二阶段的计算。将第一阶段的最终 计算表中的人工变量列取消，并将目标函数系数换成原问题的目标函数系数，重新计算检 验数行，可得如下第二阶段的初始单纯形表cj-4-100XBbx1x2x3x4ix10.4100-0.2x21.80100.6x310011-Z3.4000-2最优解为 x1 =0.4，x2 = 1.8, x3 = 1。目标函数值： Z* = 3.46、 （1）解：将线性规划问题化为对偶问题 无约束32132132121321, 0, 0335645 327 34. .301320maxyyyyyyyyyyytsyyyW（2）解：将线性规划问题化为对偶问题0, 02 231 2. .136min21212121yyyyyytsyyW7、用对偶单纯形法求解线性规划问题。 （1）解：将模型转化为32118124maxxxxZ0,52233 .521532431xxxxxxxxx ts Lcj-4-12-1800xBbx1x2x3x
