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1、习题 181 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形 (1) 21 210 )(2xxxxxf解 已知多项式函数是连续函数 所以函数 f(x)在0 1)和(1 2内是连续的 在 x1 处 因为 f(1)1 并且 1lim)(lim2 11 xxf xx1)2(lim)(lim 11xxf xx所以 从而函数 f(x)在 x1 处是连续的 1)(lim1xfx综上所述，函数 f(x)在0 2上是连续函数 (2) 1| 111 )(xxxxf解 只需考察函数在 x1 和 x1 处的连续性 在 x1 处 因为 f(1)1 并且 ) 1(11lim)(lim 11 fxf xx ) 1(1lim)(l
2、im 11fxxf xx所以函数在 x1 处间断 但右连续 在 x1 处 因为 f(1)1 并且f(1) f(1) 1lim)(lim 11 xxf xx11lim)(lim 11xxxf所以函数在 x1 处连续 综合上述讨论 函数在( 1)和(1 )内连续 在 x1 处间断 但右连续 2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断 点 则补充或改变函数的定义使它连续 (1) x1 x2231 22xxxy解 因为函数在 x2 和 x1 处无定义 所以 x2 和) 1)(2() 1)(1( 231 22xxxx xxxyx1 是函数的间断点 因为 所以 x2 是函数的第
3、二类间断点 231limlim2222xxxyxx因为 所以 x1 是函数的第一类间断点 并且是可去间断点 2) 2() 1(limlim11xxyxx在 x1 处 令 y2 则函数在 x1 处成为连续的 (2) xk (k0 1 2 )xxytan2kx解 函数在点 xk(kZ)和(kZ)处无定义 因而这些点都是函数的间2kx断点 因(k0) 故 xk(k0)是第二类间断点 xxkxtanlim因为 (kZ) 所以 x0 和(kZ) 是第一类1tanlim0xxx0tanlim2 xxkx2kx间断点且是可去间断点 令 y|x01 则函数在 x0 处成为连续的 令时 y0 则函数在处成为连续
4、的 2kx2kx(3) x0 xy1cos2解 因为函数在 x0 处无定义 所以 x0 是函数的间断点 又xy1cos2xy1cos2因为不存在 所以 x0 是函数的第二类间断点 xx1coslim2 0(4) x 1 1 31 1 xxxxy解 因为 所以 x1 是函数的第一0) 1(lim)(lim 11 xxf xx2)3 (lim)(lim 11xxf xx类不可去间断点 3 讨论函数的连续性 若有间断点 判别其类型 xxxxfnnn2211lim)(解 1| 1| 01| 11lim)(22xxxxx xxxxfnnn在分段点 x1 处 因为 所以1)(lim)(lim 11 xxf
5、 xx1lim)(lim 11xxf xxx1 为函数的第一类不可去间断点 在分段点 x1 处 因为 所以 x1 为1lim)(lim 11 xxf xx1)(lim)(lim 11xxf xx函数的第一类不可去间断点 4 证明 若函数 f(x)在点 x0连续且 f(x0)0 则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0证明 不妨设 f(x0)0 因为 f(x)在 x0连续 所以 由极限的局0)()(lim0 0xfxfxx部保号性定理 存在 x0的某一去心邻域 使当 x时 f(x)0 从而当)(0xUo)(0xUoxU(x0)时 f(x)0 这就是说 则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子 (1)x0 1 2 n 是 f(x)的所有间断点 且它们都是无穷间断21n1点 解 函数在点 x0 1 2 n 处是间断的xxxfcsc)csc()(21n1且这些点是函数的无穷间断点 (2)f(x)在 R 上处处不连续 但|f(x)|在 R 上处处连续 解 函数在 R 上处处不连续 但|f(x)|1 在 R 上处处连续 QQ xxxf11)(3)f(x)在 R 上处处有定义 但仅在一点连续 解 函数在 R 上处处有定义 它只在 x0 处连续 QQ xxxxxf)(
