《浙大 不定积分及定积分习题课 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙大 不定积分及定积分习题课 含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、不定积分、定积分及其应用不定积分、定积分及其应用习题课习题课一目的与要求一目的与要求（1）理解原函数和不定积分的意义、性质以及原函数存在的条件；）理解原函数和不定积分的意义、性质以及原函数存在的条件；（2）熟练掌握不定积分计算方法（凑微分法，换元法和分部积分法）熟练掌握不定积分计算方法（凑微分法，换元法和分部积分法）；（3）掌握一些特殊被积函数的不定积分计算方法（有理函数、三角）掌握一些特殊被积函数的不定积分计算方法（有理函数、三角有理函数和某些无理函数等）有理函数和某些无理函数等） ；（4）理解定积分的概念及几何意义、物理意义；）理解定积分的概念及几何意义、物理意义；（5）理解函数可积的条件
2、及可积函数的性质；）理解函数可积的条件及可积函数的性质；（6）熟练掌握定积分计算方法（凑微分法，换元法和分部积分法）熟练掌握定积分计算方法（凑微分法，换元法和分部积分法） ；掌握一些特殊性质函数（奇偶函数，周期函数等）定积分性质；掌握一些特殊性质函数（奇偶函数，周期函数等）定积分性质；（7）能利用微元法（定积分的几何意义和物理意义）解决一些几何）能利用微元法（定积分的几何意义和物理意义）解决一些几何问题（平面图形的面积、立体特别是旋转体的体积、旋转体的问题（平面图形的面积、立体特别是旋转体的体积、旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、某些非均匀物体的质量等）和物理侧面积、平面曲线的弧长、某些非均匀物
3、体的质量等）和物理问题（液体的静压力、变力作功、万有引力等）问题（液体的静压力、变力作功、万有引力等） ；（8）了解定积分的近似计算（矩形公式、梯形公式和抛物线公式）了解定积分的近似计算（矩形公式、梯形公式和抛物线公式） ；（9）理解无穷区间上的广义积分和无界函数广义积分的定义和收敛、）理解无穷区间上的广义积分和无界函数广义积分的定义和收敛、发散的意义，掌握两类广义积分的计算方法。发散的意义，掌握两类广义积分的计算方法。（10）了解）了解-函数及其性质。函数及其性质。二练习题二练习题1. 计算下列不定积分：（1） （2） （3）dxxxxx )1 (ln)1ln(dxxxx 2123 dxxx
4、xx cossincossin2. 计算下列定积分：（1） （2）6206dxxxxdttx1023 ), 1max(3. 求下列极限： （1） （2）dxxx)1cos(11lim 0 nknkn kn112lim（3）设，求.1 121) 1)nnnunnnL（1limnnu 4. 设沙的比重为吨/立方米，要堆成一个底面半径为 R 米，高为 H 米的圆锥形沙堆，问至少需作多少功？5. 过坐标原点作曲线的切线，xyeL(1) 求的方程；L（2）以曲线，切线及轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域xyeLx记为，求的面积；DD（3）将绕轴旋转一周生成的旋转体记为，求的体积DxVV6. 设为正
5、整数，n24021( )dd1nxxetF xettt（I）试证明：函数有且仅有一个实零点（即有且仅有一个实根） ，( )F x( )0F x 并且是正的，记此零点；nx（II）试证明级数收敛21n nx7.（1）计算，其中为常数。220ln xdxxa0a （2）已知，计算2sin0dxxx.sin022 dxxx三练习题参考答案三练习题参考答案1 （1）ln(1)ln11ln(1)ln(1)1xxdxxxdxxxxx 21ln(1)lnln(1)lnln(1)ln2xx dxxxxC （2）332221211 22 2222xxxxxxdxdxxdxxxx2 22 22 2()11(2)2
6、222()1xxdd xxdxx22 21ln(2)2arctan2xxxC（3）22sincos1(sincos2sincos ) 1 sincos2sincosxxxxxxdxdxxxxx()11114sincossincos2sincos22 2cos()4d x xxdxxxxxx12sincosln sec()tan()2444xxxxC2 （1）6622006d9(69)dxxxxxxxx6209(3) dxxx（令）33sinxt2227(1 sin ) cos cos dttt t22 02754cosd2t t （2）当时，即 时：311 1x 302x. 33112300m
7、ax(1,)11xxtdtdtx当时，即 时：311x 32x .33111223300112max(1,)1(1)33xxtdtdtt dtx当时，即 时：311x 0x .33111223300112max(1,)1(1)33xxtdtdtt dtx所以， .3331233033312(1),033 max(1,)1,02 12(1),233xxxtdtxxxx 3 （1）200cos(1)cos(1)1lim1cos(1)limx dxxx dxxx dx， 所以有0cos(1)cos(1)cos(1) lim2x dxxx 000cos(1)1cos(1)cos(1)lim1cos(1
8、)limlimcos122x dxxx dx 00cos(1)2 cos(1)cos(1)1lim1cos(1)lim2x dxxx dx0cos(1)cos(1)lim2cos13cos12因此，原极限不存在。（2）因为 ，所以2222,1,2,3,111kkkk nnnnnknnnnnnkL， 而 ，111222 11kkk nnnnnnkkkn nnnnk1011221lim20ln2ln2k xnnxnkdxn，于是由夹逼性知 .lim11nn n121lim1ln2k nnnknk （3）由， 取,则 112 1) 1)nnnunnnL（111lnln(1)nn iiunn, 111
9、00011limlnlimln(1)ln(1)dln(1)d2ln2 11nnnniixuxxxxxnnx所以 2ln2 14limnnuee4. 解: 如图， ，由得 ，所以2()dWrdxx rHx RH()RrHxH2 2 2()RdWx HxdxH2 2 20()HRWx HxdxH2 444 2121 234RHHHH（ 吨米）.2212R H5. 解：（1） 设切点为,则过点的切线方程为，00(,)xy00(,)xy0 00()xyyexx因为点在切线上，故,又因为，所以，(0,0)0 00()xyex0 0xye01x 从而切线方程为. yex（2）面积 . 02(ln )dey
10、Ayye200lnlimln222eyyeeyyyyye（3）体积（用套筒法）322200(ln )d2 ln3246eeyyyyeVyyyyee6. 解：(I) ，有:24021( )dd1nxxetF xettt，2014021(0)dd01tFettt2140211( )dd01etnFettnt，故知存在唯一的使 24( )01nx x nxneF xeenx1()0,0nnF xxn(II) 因为 ,收敛， 故 收敛2 21nxn2 11nn21n nx7. 解：（1），令，22222200lnlnlnaaxxxdxdxdxxaxaxa2atx，22adxdtt 则 ，因此， 222022222202lnln2lnlnaataaa txaatdxdtdtxattaa.222200ln2ln2lnlnarctan02aaxaaxadxdxxaxaaaaOHRrxx（2）2 22 2000sin112sin cossinsin0xxxdxx dxdxxxxx .22000sinsinsin2sinlimlim(2 )22xxxxxtdxdtxxxt
