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1、第第 7 7 章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 习题及答案习题及答案1. 半径分别为和的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷Rr面密度分别为和。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷12分布的影响。试证明： 。Rr21 证明：因为两球相距甚远，半径为的导体球在半径为的导体球上产生的电势忽略Rr 不计，半径为的导体球在半径为的导体球上产生的电势忽略不计，所以rR 半径为的导体球的电势为RRRV02 1 1401 4R半径为的导体球的电势为rrrV02 2 2402 4r用细导线连接两球，有，所以21VV Rr21 2. 证明：对于两个无限大的
2、平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面 密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。证明: 如图所示，设两导体、的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为，AB1，234（1）取与平面垂直且底面分别在、内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得ABSSdE S)(1032 0rr故 203上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在内部任取一点，则其场强为零，并且它是由四个均匀带AP 电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201 又 203故 143. 半径为的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为处有RRd3
3、一点电荷+，试求：金属球上的感应电荷的电量。q解：如图所示，设金属球表面感应电荷为，金属球接地时电势q0V由电势叠加原理，球心电势为OVRqdqR344100034400Rq Rq 故 q3q4半径为的导体球，带有电量，球外有内外半径分别为、的同心导体球1Rq2R3R壳，球壳带有电量。Q（1）求导体球和球壳的电势和；1V2V（2）如果将球壳接地，求和；1V2V（3）若导体球接地（设球壳离地面很远） ，求和。1V2V解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为、带电量为的均匀带电球面产生的电势分布为 Rq )( 4)( 400RrrqRrRqV导体球外表面均匀带电；导体球
4、壳内表面均匀带电，外表面均匀带电，qqQq 由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷 在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为)(4132101RQq Rq RqV球壳是等势体，其上任一点电势为rqV024rq04304RQq 304RQq （2）球壳接地，表明球壳外表面电荷入地，球壳外表面不带04302RQqVQq 电，导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以)11(42101RRqV（3）导体球接地，设导体球表面的感应电荷为，则球壳内表面均匀带电01Vq、外表面均匀带电，所以qQq 0)(4132101RQq Rq RqV解得 213
5、13221 RRRRRRQRRq3024RQqV)(4)(213132012 RRRRRRQRR 5. 两个半径分别为和（)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试求：1R2R1R2Rq(1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； (3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。解：(1)内球壳外表面带电；外球壳内表面带电为,外表面带电为，且均匀qqq分布，外球壳上电势为22202 044d RRRqdrrqrEVvv(2)外球壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为。所以qq球壳电势由内球与外球壳内表
6、面产生，其电势为qq0442020Rq RqV(3)如图所示，设此时内球壳带电量为；则外壳内表面带电量为，外壳外表面qq带电量为 (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且qq04 4 4202010Rqq Rq RqVA得 qRRq21外球壳的电势为 2 202120202044 4 4 RqRR Rqq Rq RqVB6. 设一半径为的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为，球体R内的介电常数为，球体外充满介电常数为的各向同性均匀电介质。求球内外任一点的12场强大小和电势(设无穷远处为电势零点)。 解：电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得rSSdDrr
7、iqrD24当时，所以Rr 3 34rqi，3rD1113 rDE当时，所以Rr 3 34Rqi，233rRD2 23223rRDE 球内（）电势为Rr rrdEVrr1drrRr13drrRR2 23322 2213)(6 RrR球外（）电势为Rr rrdEVrr2drrRr2 233 rR2337. 如图所示，一平行板电容器极板面积为，两极板相距为，其中放有一层厚度Sd为 的介质，相对介电常数为，介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为+和tr，求： （1）极板间各处的电位移和电场强度大小；（2）两极板间的电势差；U （3）电容。 C 解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与
8、极板平行，左底面圆在极板 导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得SSDSdD Srr D （介质内）（空气中）000rrDE（2） BAl dEUrrttdr 00）（3）USCtdSrrr ) 1(0 8. 如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质，设极r板面积为，两极板上分别带电荷为和，略去边缘效应。试求：SQQ（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值；（2）两极板间的电势差；U （3）电容。C解：（1）充满电介质部分场强为，真空部分场强为，有电介质部分和无电介质2Ev1Ev部分极板上自由电荷面密度分别为和。21取闭合圆柱
9、面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆在两极板之间）为高斯面，由得0dqSDvv，11D22D dUDE0101 1 dUDErr 0202 2由、解得r12（2）由电荷守恒定律知， QS2)(21tr由 、 、 解得SQdUr0) 1(2 （3）dS UQCr 2) 1(09. 半径为的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为和，1R2R3R当内球带电荷时，求：Q(1)整个电场储存的能量； (2)将导体壳接地时整个电场储存的能量； (3)此电容器的电容值。解：如图所示，内球表面均匀带电，外球壳内表面均匀带电，外表面均匀带电QQQ(1)由高斯定理得
10、当和时，1Rr 32RrR0E当时，21RrR2 014rQE当时，3Rr 2 024rQE所以，在区域21RrR21d4)4(2122 2 001RRrrrQW21)11(88d21022 02RRRRQ rrQ 在区域3Rr 32 302 220021 8d4)4(21RRQrrrQW总能量为)111(83210221RRRQWWW(2)导体壳接地时，只有时,其它区域，所以21RrR2 04rQE0E02W)11(821021RRQWW(3)电容器电容为)11/(422102RRQWC10. 一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为，外圆柱面半径为，长为 (1R2RL，两圆筒间充有两层相对介电常量
11、分别为和的各向同性均匀电介质，)12RRL1r2r其分界面半径为，如图所示。设内、外圆柱面单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为R和，求： （1）电容器的电容； （2）电容器储存的能量。解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 ，底面l 圆半径为。由介质中的高斯定理得 riSqrlDSD2dvr当时，21RrRlqirD2两圆筒间场强大小为 )( 2)( 22 201 100RrRrRrRrDErrr 两圆筒间的电势差为 21dRRrEUrrRRrrr1d2102d220RRrrr110ln2RRrRRr220ln2电容器的电容为ULCRRRRLrrrr /ln/l
12、n22112210 （2）电容器储存的能量CQW2212102 1 1224lnlnrrrrRR RRL 11如图所示，一充电量为的平行板空气电容器，极板面积为，间距为，在QSdR2 R R1 r1 r2 L 保持极板上电量不变的条件下，平行地插入一厚度为，面积，相对电容率为Q2/dS的电介质平板，在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功？r解：插入电介质平板之前，电容器储存的能量为dSC0 0SdQ CQW02020221 插入电介质平板之后，由本章习题 7 的解法可得到dSCrr ) 1(20 电容器储存的能量为SdQ CQWrr 0224) 1( 21由能量守恒定律知，在插入电介质平板的
13、过程中，外力作的功为0WWASdQrr 024)1 ( 12. 一球形电容器，内球壳半径为，外球壳半径为，两球壳间充有两层各向同性1R2R均匀电介质，其界面半径为，相对介电常数分别为和，如图所示。设在两球壳间R1r2r加上电势差，求： 12U(1) 电容器的电容； (2) 电容器储存的能量。 解：（1）设球内球壳和外球壳分别带电、，电场具有球对称分布，以为半径QQr作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得SSdDrriqrD24当时，21RrRQqi24 rQD 内球壳和外球壳之间场强大小为 )( 4)( 422 2012 100RrRrQRrRrQDErrr 内球壳和外球壳之间电势差为 2112RRrdEUrrdrrQRRr12 104drrQRRr22 204R R O R1 R2 r1 r2 Q2/d rQ d)11(4110RRQr)11(4220RRQr2121021211122 4)()( RRRRRRRRQrrrrrr 电容为12UQC 21211122212104rrrrrr RRRRRRRR （2）电容器储存的能量为2 1221CUW 212111222 12212102rrrrrr RRRRRURRR
