浅谈解一元三次方程浅谈解一元三次方程江苏省泰州中学 袁蕴哲一、由几个方程引出的讨论解下列方程： 1、x-1=0 2、x2-1=0 3、x2+1=0 4、x3-1=0 易知，方程 1 的解为 x=1，方程 2 的解为 x=±1，方程 3 无实数根，方程 4 的解为 x=1 对于 2、3 两个一元二次方程，有根的判别式 Δ=b2-4ac，根据 Δ 的正负来判断方程根的个数 那么，对于形如 ax3+bx2+cx+d=0 的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法： 令 f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出 f(x)的零点数，就是方程的根如方程 5x3+x2-6x+1=0（见下图） ，易知，该方程有三个根将此函数平移，可得到与 x 轴分别有 1 个、2 个、3 个交点，说明任意一元三次方程可 能有 1～3 个实根 我们可以得到下表：（均不含字母系数）方程种类实根个数一元一次方程1一元二次方程0、2一元三次方程1、3即：一元 n 次方程最多有 n 个实根再来看方程 3，可移项为 x2=-1，两边开方，得到负数的偶次方根是没有𝑥 =±‒ 1意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有 i2=-1。
易知，原方程的解就为𝑖 =‒ 1浅谈解一元三次方程x=±i 由于数 i 没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把 i 称为虚数 (imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数 (real number) 规定了虚数以后，类似 x2+1=0 的方程也可以解了，而且有 2 个根二、解高次方程的数学史话一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、 卡当（也译作卡尔丹） 、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯 洛·冯塔纳 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的 努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一由于冯塔纳患有“口吃” 症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”， 也就是意大利语中“结巴”的意思后来的很 多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳 经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般 形式的求根方法这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。
但 是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世 当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣他几次诚 恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如 同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当卡当通过解三次方程的对比实践， 很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密 卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未 提到塔尔塔利亚的名字随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般 求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式” 塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学 生费拉里应战费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程 的解法由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了 后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数 n≥5 ，那 么此方程不可能用根式求解即不存在根式表达的一般五次方程求根公式这就是阿贝尔 定理高次方程求解的工作就此告一段落 值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复 数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
三、复数与一元方程的解将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用 z 表示，可写作： z=a+bi其中 a 为复数的实部，b 为复数的虚部当 b=0 时为实数，a=0，b≠0 时为虚数，又叫 纯虚数由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用 C 表示） 表示如下：浅谈解一元三次方程复数{实数{有理数{整数{自然数{正整数0?负整数?分数?无理数?虚数?由，可得：𝑖 =‒ 1i4n+1=i，i4n+2=-1， i4n+3=-i，i4n=1 这就是关于 i 的运算观察复数 a+bi，与多项式类似，所以复数的计算法则也与多项 式类似，只是计算 i 的乘方时要换算成对应值 如：(1+6i)(4-2i)=4-2i+24i-12i2=16+22i有了关于复数的定义与运算，让我们再来看一看方程问题对于一元二次方程，如果 Δ0 时，设函数的两个驻点是 x1,x2，易知 x1x2>0 时，方程有一实根；x1x2=0 时方 程有三实根，其中一对重根；x1x2<0 时方程有三实根当 Δ≤0 时，函数单调，方程只有一个实根浅谈解一元三次方程（指导老师：杨子圣）。