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1、第十二讲（第十二讲（2）多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用一、多元函数微分法方法指导一、多元函数微分法方法指导1. 偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求 先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐阶求导法(当高阶混合偏导数连续时,与求导顺序无关, 应选择简便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束显式结构隐式结构自变量个数= 变量总个数变量总个数 独立方程个数独立方程个数自变量及因变量根据问题所求确定,其关系可通过作树状图分析2. 复合函数结构复合函数结构3. 复合函数求导法则复合函数求导法则 ( 链式法则链式法则)分段用乘, 分叉用加; 单路全导 , 叉路偏导 .例如 , 设, )(
2、, )(, ),(xvxuvuxfz则 zxvux xxdzd)()(321xfxff又如 , 设, ),(, ),(yxuuyxfz则 xz 131ffzxyuyx yz 232ff注意注意:1f xz xf xdud uf xdvd vf 4. 隐函数微分法隐函数微分法直接方法;代公式法.全微分法;例如例如:设函数z = z (x,y)是由方程F ( x - z , y + z ) = 0所确定,.,yz xz 方法方法1: 全微分法全微分法. 0)()(21 zdydFzdxdFzd xz yzxdFFF211ydFFF212 ,211 FFF 212 FFF 对方程两边求微分其中F具有
3、一阶连续偏导数 , 求设函数z = z ( x , y )是由方程F ( x - z , y + z ) = 0所确定, 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求.,yz xz 方法方法2: 直接法直接法. 0)1(21 xzFxzFxzyz,211 FFF 212 FFF 方程两边对y求导, 得0)1()(21 yzFyzF方程两边对x求导, 得),(),(zyzxFzyx则,1Fx,2Fy,21FFzzx xz zy yz 211 FFF 212 FFF 方法方法3: 代公式法代公式法. 令设函数z = z ( x , y )是由方程F ( x - z , y + z ) = 0所确定, 其中
4、F 具有一阶连续偏导数, 求.,yz xz 二、多元函数微分法的应用方法指导二、多元函数微分法的应用方法指导1. 偏导数的几何应用偏导数的几何应用( P256-P257 )(1) 空间曲线的切线和法平面参数方程情形一般方程情形 光滑曲线在时对应点处的方向向量为 光滑曲线向量为在点处的方向zyx(2) 空间曲面的切平面和法线 光滑曲面方向向量为在点处的法线 光滑曲面方向向量为在点处的法线2. 多元函数极值和最值应用多元函数极值和最值应用( P257-P260 )(1) 多元函数极值的必要条件和充分条件 条件极值的求法方法方法1 升元法升元法拉格朗日乘数法方法方法2 消元法消元法将条件代入目标函数
5、隐式方程情形 显式方程情形(3) 解最值问题的步骤1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件;2) 构造拉格朗日函数,利用极值必要条件列方程;3) 解方程组求出驻点(稳定点);4) 根据问题的实际意义判断驻点是否为所求最值点 .三三. 实例分析实例分析例例1. 设函数f的二阶偏导数连续, 分别求下列函数的二(P247 例例5)yz fxy 232解解: (1)2(xyfyz2 f xy xyf xy )1(22 222 fy2 fxy2阶混合偏导数:; )()2( 2xyxfz)(2xyfx xy2),() 3(2xyxfz yxz 2 ) (2 xy222fxy例例2在点处可微,
6、 且, 1)1 , 1(f, ) ),(,()(xxfxfx ,3) 1 , 1 (,2) 1 , 1 ( yf xf求( 2001考研题）设函数解解:) )1 , 1(, 1() 1 (ff) ),(,()(xxfxfx 1)1 , 1 ( f1)(32 xxddx23( ) x),(,(1xxfxf 1x 3) 32(3251, 1)1 , 1(f,3) 1 , 1 (,2) 1 , 1 ( yf xf例例3. 设证明:zyxzu yu xu 3( 西交大西交大1989 )证证: zyxzyxxu 3333zyxzyxzu yu xu 3) (3333利用轮换对称性利用轮换对称性可得)(2
7、22yxxzzyzyxzyx2yxz例例4. 设, ),(zyxfu ( P272 题题16 )解解: 利用全微分法, 有 02321zdydexdxyzxyuyx xx消去dy , dz321 321)cos2(1cosfxexxffxdudy说明说明: 若用直接方法, 注意,sin xy 其中都具有一阶连续偏导数 , 且求练习练习设 f (u) 可微, 且,11)11(xzxyf求yzyxzx22( 京1996 竞赛题 )提示提示: 利用全微分法, 有ydfyzxdfxzzd2222 )1(xz yz 代入原式, 得2z代入原方程代入原方程例例5. 设变换zvuxy可把方程0622222
8、yz yxz xz转化为求常数a. ( 考研考研1996, P272 题题18 )xy解解: xz yz22xz22uz22vz 22yz22 4uz a222 2 vza yxz222 2uz 22vza例例5 5.设变换vuz 2 022 vz依题意应有, 得a = 3.说明说明: 由变换后的方程易求得: )(uguzP253 例12 与此题类似.其中yxu2 yaxv可把方程0622222 yz yxz xz转化为,02 vuz求常数a. ( 考研考研1996, P272 题题18 )为任意二阶可微函数.代入原方程, 得)()(vufz说明：说明：设( , )zf x y2222260,
9、zzz xx yy 2 3xy xy 2 0.z 解解:2xy3xy1 51 5(32 )()xy ( , )zf x yz zxzy xy31 1255ff2z 31 5512()ff 可将方程化简为满足方程证明变换接5.2z 31 5512()ff 11123()5xyff21221()5xyff1112221(6)5fff2222260zzz xx yy 2 0z 例例6. 试证可微函数的函数的充要条件为(上交大上交大1989 )证证: 先证“必要性”. 设则abxzb再证“充分 性” .令则),(yxfz 因)(21baffxz 0这说明f 与 x 无关, 仅是 t 的函数 , 即思考
10、题思考题: P272 题题20是例例7. 设 f ( x , y , z ) 为 n 次齐次函数, 试证),() 1(),()(2zyxfnnzyxfzzyyxx(上交大上交大1986 ) 证证: 已知两边对t 求导, 得321fzfyfx令 t = 1 ,得再对 t 求导, 得)(232221fzfyfxy )(333231fzfyfxz 132321222fzxfzyfyx 即得所证.ftnn 1例例8.证明曲线与圆锥面的各条母线相交的角度相同. 解解: ( , , ),M x y z则该点切线方向向量为, )sin(costteattea圆锥面上过点M 的母线的方向向量为且 故与夹角的余
11、弦为2121cosssss222232zzz 62= 常数故本题结论成立 。, )sin(costteat思路思路:求出切平面求出切平面 方程方程,分析其特点分析其特点例例9.设函数F可微,试证曲面的所有切平面通过一定点 . (上交大上交大1998) 1F 2Fzd221 )()()( FaxFczFby xd 21 FF yd故曲面在点(x,y,z)处切平面的法向量为1,yxzzn证证:对曲面方程两边取微分, 得,)()()(221 FaxFczFby ,21 FF 1设切平面上的动点坐标为( X ,Y, Z ) ,则得切平面方程:( )()( 21FczFbyX()(1 FaxY()(2
12、FaxZ) x)y) z0显然 , 当cZbYaX,时, 满足上述方程,这说明切平面通过定点(a,b,c) .说明说明: P261 例2 与此题类似,)()()(1 21 2FczFbyFaxn,)(1Fax 2)(Fax练习练习证(). ( ( )0,zaxf byczf ua证明曲面可微)bc、 均为常数的所有切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的法向量: ( , a( , , )()F x y zaxf byczz令则A ()()n Abbcf byczbcf byczb0,即nA所以,所有的切平面均与( , )bc ba常向量平行.() 1)cf byczn (),bf bycz(
13、,b a取, c)b在由直线轴和轴所围闭区域D 上的极值、最大值与最小值. (95考研考研)解解: 令得驻点:)60(0yx) 1 ,2( , )0,4(及在区域内的驻点) 1 ,2(处 648xoy充分条件充分条件例例10. 求二元函数在边界)4(),(2yxyxyxf在边界, 又 ) 1 ,2(是极大值点, 极大值4) 1, 2(f与 0),(yxf上令, 得xoy为该边界上的极小值点 , 极小值64)2 , 4(f经比较f 在 D 上的最大值为4) 1, 2(f最小值64)2 , 4(f, 即上 ,例例11.在椭圆上求一点, 使其到直线的距离最短. ( P273 题题27;考研考研1994 ) 解解: 所给椭圆上一点P( x , y )到所给直线的距离为设拉格朗日函数2)632(yxF解方程组 02)632(4xyxFx 08)632(6yyxFy 04422yxF 234xy解得于是),(11yxd),(22yxd由问题的实际意义最短距离存在,因此点为所求.)44(22yx,131,1311例例1
