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1、河北饶阳中学导学案河北饶阳中学导学案 高中数学选修高中数学选修 2-1 第第 3 章章 编写：编写： 丁馈钦丁馈钦 编写日期编写日期 2014 年年 1 月月 6 日日 1班级班级 姓名姓名 组数组数 3.1.53.1.5 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标学习目标 1 1、类比平面向量的运算的坐标表示推导空间向量运算的坐标表示；类比平面向量的运算的坐标表示推导空间向量运算的坐标表示； 2 2、掌握空间向量的坐标运算规律，会根据向量的坐标判定两个向量垂直、平行；掌握空间向量的坐标运算规律，会根据向量的坐标判定两个向量垂直、平行； 3 3、利用空间向量的坐标解决一些立体几何中
2、的问题利用空间向量的坐标解决一些立体几何中的问题. . 重点：空间向量运算的坐标表示重点：空间向量运算的坐标表示；难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角. .学习过程学习过程 （预习预习教材教材 P95 P96，找出疑惑之处），找出疑惑之处） 一、导：复习回顾平面向量坐标运算一、导：复习回顾平面向量坐标运算1、平面向量的直角坐标运算、平面向量的直角坐标运算已知已知=(=(, ,) )，=(=(, ,) )，则，则ar1x1ybr2x2y= =( ( ， ) )； = =( ( ， ) ) ； = = ；arbraba设设则则( (
3、， ) ) （向量（向量终点坐标减去起点坐标）终点坐标减去起点坐标）. .),(),(2211yxByxAAB 2、平面向量平行与垂直的条件、平面向量平行与垂直的条件/ ；= =0 0 . .arbrarbrarbrarbr3、向量的长度公式、向量的长度公式 向量的长度（模）向量的长度（模）设设，则，则 或或 . . ( , )x yaraaa2a平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式设设、则则 . .),(11yxA),(22yxBABABAB |4、向量的夹角公式、向量的夹角公式设设=(=(, ,) )，=(=(, ,) )，则，则= = . .ar1x1ybr2x2y bababa
4、 ,cos类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示,请请 同学们结合教材进行证明同学们结合教材进行证明. 二、思：新课探究（空间向量坐标运算）二、思：新课探究（空间向量坐标运算） 1、空间向量的直角坐标运算、空间向量的直角坐标运算设设，则，则( ( ， ， ) )； ar123(,)a a abr123( ,)b b barbr( ( ， ， ) )； . .a()Rarbr设设则则( ( ， ， ).). ),(),(222111zyxBzyxAAB2、空间向量平行与垂直的
5、条件、空间向量平行与垂直的条件若若 ， ，则，则ar123(,)a a abr123( ,)b b b（00）a1 ， ， (R)；arbrbrarbr2a3a如果如果与三条坐标轴都不平行时，则有与三条坐标轴都不平行时，则有 （对应坐标成比例）（对应坐标成比例）brarbr= =0 0 . .arbrarbr3、向量的长度公式、向量的长度公式 向量的长度（模）向量的长度（模）设设，则，则 或或 . .),(zyxa aaa2a空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式设设则则 = =. .),(),(222111zyxBzyxAABABAB |ABd 4、向量的夹角公式、向量的夹角公式设设，则，
6、则= = . .ar123(,)a a abr123( ,)b b b bababa ,cos练一练：练一练：1 1、已知、已知，求：，求：)4 , 1, 0(),2, 1, 2(ba= = ；= = ；22= = ；arbrarbrar= = ； （）（- -）= = . .arbrarbrarbr2 2、已知、已知若若，则，则= = ；若；若，则，则= = . .), 2 , 4(),3 , 1, 2(xbaba xarbrx3 3、向量、向量= =（） ，则向量，则向量的模是的模是 . .ar1,2,3ar4 4、已知、已知, ,则线段则线段 ABAB 的中点的中点 M M 的的坐标为坐
7、标为_，= = . .( 1,2,7), ( 3, 10, 9)ABABuuu r三、合作探究三、合作探究(议、展、评议、展、评)探究探究一：空间向量的坐标运算一：空间向量的坐标运算例例 1.1.设设(1,5(1,5，1)1)，( (2,3,5)2,3,5)arbr(1)(1)若若( ()()(3 3) )，求，求；karbrarbrk(2)(2)若若( ()()(3 3) )，求，求. .karbrarbrk急流只有遇见断崖才有瀑布的壮观，雄鹰只有飞上蓝天才能看见大地的辽阔。急流只有遇见断崖才有瀑布的壮观，雄鹰只有飞上蓝天才能看见大地的辽阔。2探究二：利用空间向量求异面直线的夹角探究二：利用
8、空间向量求异面直线的夹角 例例 2.2. 如图如图, ,在正方体在正方体中，点中，点分别是分别是的一个四等分点，求的一个四等分点，求与与1111ABCDABC D11,E F1111,AB C D1BE所成的角的余弦值所成的角的余弦值1DF小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然 后再用公式计算后再用公式计算. . 探究三：利用数量积证明线线垂直探究三：利用数量积证明线线垂直 例例 3.3.如图，正方体如图，正方体中，点中，点 E,FE,F 分别是分别是的中点，求证：
9、的中点，求证：. .1111ABCDABC D111,BB D B1EFDA4、总结提升：总结提升：1 1 1.1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2.2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标， 然后再代入公式进行计算然后再代入公式进行计算. . 五、五、当堂检测当堂检测1 1. .已知向量已知向量= =(1,1,0),(1,1,0), = =( (- -1,0,2),1,0,2),
10、且且+ +与与 2 2- -互相垂直互相垂直, ,则则的值是（的值是（ ）arbrkarbrarbrkA.A.1 1 B.B. C.C. D.D. 51 53 572 2. . 已知已知 ， 且且，则（，则（ ）1,2,1,2aybxrr(2 )/(2)ababrrru u rA.A. B.B. C.C. D.D. 1,13xy1,42xy 12,4xy 1,1xy 3.3.已知已知 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则则ABCABC的形状是（的形状是（ ）A.A.等腰三角形等腰三角形B.B.等边三角形等边三角形C.C.直角三角形直角三角形D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形4.4.与向量（与向量（-3-3，-4-4，5 5）共线的单位向量是）共线的单位向量是_FEC1B1A1D1DABCF1E1C1B1A1D1DABC
