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1、1课课 题题第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算2.1 矩阵矩阵 2.2 矩阵的运算矩阵的运算教学内容矩阵的概念； 矩阵的运算；教学目标明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；教学重点掌握矩阵定义及运算法则教学难点矩阵乘法双语教学 内容、安 排矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix教学手段、 措施讲授课（结合多媒体教学）2.1 矩阵矩阵矩阵是线性代数
2、的主要内容之一，是处理许多实际问题的重 要数学工具。也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。 一 授课内容： 矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方 阵、三角阵、对角阵、单位阵的概念） 矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。 二 授课过程与说明 1矩阵的概念 引入：某工厂要购进 4 种原料 F1, F2, F3, F4 若知道 A1,A2,A3 生产这 4 种原料，到哪买这 4 种原料呢，对价格进 行比较 F1 F2 F3 F4A1 4 5 3 6 A2 5 6 4 5 3 行 4 列表A3 4 7 5 4 在实际问题中经常遇到由个元素构成的数表m n定义定
3、义 1 ：个元素排成 m 行m n(1,2,;1,2, )ija im jnLLn 列矩形数表（对教学内容及欲 达目的、讲授方法 加以说明）组织教学矩阵与行列式的区2=111212122212nnnnnnaaa aaaaaa L L MMM L称为一个矩阵。m n 一般用大写黑体字母表示：记为 A、B、C。为了表示行和列，也可简记为或矩阵中数nmA ijm na称为矩阵的第 行第列元素。(1,2,;1,2,)ija ijLLij注意： m=n 时是方阵，此时矩阵称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。n=1 称为列矩阵或列向量 。12nbbBb Mm=1 称为行矩阵或行向量 。12,nAa aaL定义
4、定义 2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对 应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为 A=B。 把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。 例例 1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 其中为工厂向第店发送第种产品的数量。ijaij这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵1112212231324142b b b bBb b b b 其中为第中产品的单价，为第种产品单价重量。1 ibi2ibj例例 2四个航线中的单向航线别？矩阵是数表，行列 式是数值或代数和； 矩阵的行与列不等， 但行列式的行与
5、列 相等。3 1,0ijijai 从市到市有一条单向航线，从市到j 市没有单向航线则图可用矩阵表示为0111 1000()0100 1010ijAa 2.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算 一、一、矩阵的加法矩阵的加法：定义定义 1：A+ B=（）+（）= （+ ） ijanmijbnmijaijbnm=111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab LLMMML两个同行（m 行） 、同列（n 列）的矩阵相加等于对应位置上的元 素相加（行与列不变） 由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运 算律 1、 交换律 A+
6、B= B+ A 2、 结合律（A+ B）+C= A+ (B+C) 3、 有零元 A+0=A4、 有负元 A+(-A)=0 ()ABAB 二、二、数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法定义定义 2、给定矩阵 A=（）及数 k,则称（k）为数ijanmijanmk 与矩阵 A 的乘积。即 kA= k=ija111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka LLMMML由定义可知 A=(-1)A A B = A+(-B)可行的条件：是同 型矩阵，方法是对 应位置上的元素相 加。其和与原矩阵 同型用数乘以 矩阵中 的每一个元素4数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)
7、=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例 1、 设A= B= 864297510213612379154257求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A2B） 三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法定义定义 3：设 A=（） B =（）则乘积 AB=C=()ijasmijbnsijcnm= ijcsjisjijibababaL2211=(i=1,2m;j=1,2n) skkjikba1一般称 AB 为 A 左乘左乘 B 矩阵乘法可行的条件是 A 的列数与矩阵 B 的行数相同。方法： A 中的第行与 B 中的第列对应元素乘积之和例例 2 设 A=（），B =（）
8、 ， ()且ijas3ijbl4ijc6mAB=C，确定 s, m , l 的值例例 3，设 A= B =求求 AB 是否可 422211111011231以求 BA例例 4 设 A= B =求求 AB ，BA 7543 3542A= B =求求 AB 1111 2222通过以上例题得出以下结论（这是与通常意义下的乘法所不同的）1， AB=0 A,B 不一定为 0 2， AB 不等于 BA 即矩阵乘法不满足交换律（若成立则说可 交换 3， AB=AC, B 不等于 C 例如数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！ ！定义说明，如果矩 阵 A 的列数等于矩 阵 B 的行数，则 A 与 B 的乘积 C
9、中的第 i 行第 j 列 的元素，等于矩阵 A 的第 i 行元素与 矩阵 B 的第 j 列对 应元素乘积的和。 并且矩阵 C 的行数 等于矩阵 A 的行数， 矩阵 C 的列数等于 矩阵 B 的列数矩阵的乘法总让我 们联想是否满足数 的乘法的运算律。5设 A= B = C= A C =B C 但 3021 4001 0011方阵乘法 矩阵的乘法满足以下运算律 1， 结合律：(AB)C=A(BC), (kA)B=k(AB) 2， 分配律：(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC 例例 5A= E= 求 EA 解 333231232221131211aaaaaaaaa100010001EA
10、=A 此时 AE 是否可行？只有当 E 为 3 阶方阵时， 只有单位阵可 与任何矩阵可交换 矩阵的幂：121111,(),kkklk lklklAA AA AAA AA AAAAL介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵) 1，对角阵，对角阵n 阶方阵 主元之外都是 012n O称为对角阵，一般它与任意 n 阶方阵相乘不能交换，但两个对角 阵相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、乘还是对角阵。再进一步特殊化就是i2、数量矩阵、数量矩阵 对于任意常数，n 阶方阵=叫数量矩阵。它与任意 n 阶方 O阵相乘可交换，以数量矩阵乘以一个矩阵 B 相当于数乘以矩阵 B3,单位阵单位阵当=1 时数量阵就是单位
11、阵，即怎样定义矩阵的幂？()?kAB什么时候有：()?kkkABA B对角阵、数量阵、 单位阵的行列式是 多少？（上三角阵，6记为 E1 11 O显然 E 在矩阵乘法中的作用与数 1 在数的乘法中的是相同的即 AE=EA。一般称 n 阶的方阵 E 为单位矩阵。即主元是 1，非主元 是零 例 7：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。 n 个未知量 m 个方程的方程组 系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵 n 个未知量 m 个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵 形 AX=B AX=0 方程组可表示为 AX=B.此式为方程组矩阵型。齐次方程组可 表为 AX=0 四，转置矩阵四，转置矩阵 定义定义 4：将 m n 矩阵 A 的行与列互换所得的 n m 矩阵，称 为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT 转置矩阵有如下性质： 1 (AT )T=A 2, (A+B)T= TTBA 3. TTkA)kA(4 . TTTAB)AB(五方阵的幂与方阵的行列式 对于幂了解，重点掌握行列式 定义定义 5：由 n 阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA 或。A定理定理 21 设 A , B 是同阶方阵则=此定理可推广到ABBA有限 小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列 式的区别。记忆定理 2-1，转置的性质下三角阵，自己定 义）
