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1、过程性教学思想的典型案例分析过程性教学思想的典型案例分析“二次根式的第二个重要公式二次根式的第二个重要公式=|=|”|”的教学案例的教学案例1 12aa师：师：上节课我们学习了二次根式的概念和一个重要公式.请同学们回忆一下，什么叫二 次根式？生：生：式子（0）叫做二次根式.aa师：师：为什么要规定0？a生生 1 1：0 可以保证有意义.如果0，就是负数，而负数是没有平方根的，aaaa所以就没有意义了.a师：师：生 1 同学从有没有意义来回答这个问题，是对的.但应注意，有没有意义aa是在实数范围内说的，因此最好在前面添一句“在实数范围内”.那么当0 时，又aa是个怎样的数呢？生生 1 1：总是一
2、个非负数.a师：师：对！二次根式（0）是非负数的算术平方根的表达式，它本身也是一个aaa非负数.二次根式的一个重要公式又是什么？生生 2 2： (0).(教师板书)2()aaa师：师：用语言如何叙述呢？生生 2 2：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身.a师：师：对.现在有这样一个问题：如果把式子的平方记号从根号外移到根号内，变2()a为，那么等于什么呢？2a2a生众：生众：(不加思索便脱口而出)等于.(教师板书)2aa师：师：如果把改为，那它又等于什么呢？2a2)( a生众：生众：.(教师板书，部分同学已开始怀疑)2)( aa师：师：这两个结论是不是正确呢？我们不妨先比较一下，看两个等
3、式的左边是否相同？生生 3 3：相同的，因为=.2a2()a1青浦县数学教改实验小组.学会教学.人民教育出版社,1991.师：师：好，那么这两个等式的右边也应该相同，就是说，难道任何数都等于它aa 的相反数？这里显然有错误，那么问题到底在哪里呢？请同学们想一想.(学生两两议论，一时拿不定主意)生生 4 4：(疑惑)原来的那个结论可能有问题.师：师：看来问题就在这里，如果认为=，恐怕是不妥当的(教师在=的等号2aa2aa上面打个“？”号).那么到底等于什么呢？我们通过下面几组题目再来看.(挂出小黑2a板)根据算术平方根的意义说出下列各式的结果：第一组：(1)； (2)；2223（3）； （4）（
4、0）.2)21(2aa第二组：（1）； （2）；2)2(2)3(（3）； （4）（0）.2)21(2aa先回答第一组题目.生生 5 5：2，3，=（0）.22232)21(212aaa师：师：再看第二组题目.生生 6 6：2，3，2)2(2)3(2)21(21师：师：这三个题目被开方数都是幂的形式，它的底数是什么数？答案与它又有什么关系？ 第(4)题答案应是什么呢？ 生生 6 6：被开方数的底数都是负数，答案是底数的相反数.所以最后一题=（0).2aaa师：师：同学们都看到了吗？现在=了!那么刚才第一组不是等于吗？2aa2aa生生 6 6：第一组里是大于零的，现在的是小于零的.aa师：师：大家
5、同意吗？生众：生众：(多数学生)同意.师：师：对，说得很好!上面两组题目，二次根式的被开方数都是某数平方的形式，即的形式.现在做了前面两组题目以后，大家再想想，的结果到底应该怎样表示？2a2a(学生独立思考，然后分组讨论，气氛比较热烈) 请同学们汇报一下讨论的结果.生生 7 7：当0 时，=；当0 时，=.a2aaa2aa师：师：可不可以等于 0 呢？a生生 7 7：=0 时，=0.a2a20师：师：归纳得很好.这个结论可以写得简洁一些，就是=（教师板书）2a )0()0(0)0(aaaaa同学们看到了吗？对于同一个二次根式，由于的情况不一样，它的结果是不同的.2aa能不能用语言来叙述一下？生
6、生 8 8：一个非负数的平方的算术平方根等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术 平方根等于这个负数的相反数.师：师：叙述得很好！因为是表示的算术平方根，而由算术平方根的意义知道它2a2a必定是非负数，由于的符号不确定，因此不一定等于，而要考虑各种情况：当是正aaa 数或零时是它本身；当是负数时是它的相反数，还是正的.a同学们回忆一下，以前我们学过的什么知识也有类似的情况呢？生生 9 9：绝对值也有这种情况. 师：师：对.的绝对值意义也是这样：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于aaa 它的相反数；当是零时它的绝对值等于零.a（板书成|=的形式）a )0()0(0)0(aaaaa那么，比较
7、这两个式子，你认为和|又有什么关系呢？2aa生众：生众：=|.2aa师：师：对，这就是我们今天这节课学习的内容.(板书课题：=|)2aa=|是二次根式的第二个重要公式，求一个数的平方的算术平方根和求这个数2aa的绝对值，结果是一致的.所以求算术平方根这个新问题也可以直接变为求绝对值这个旧问 题来解决.师：师：做这两个练习时要看清应用的是哪一个公式.下面再来看一组题目.(挂出小黑板) 化简：（1）(4） ；2mm2)4( xx（3）（5） ； （4）+(1).2)5(mmb122 bbb师：师：先看一下这组题目与刚才几组题目有什么明显不同的地方？生生 1010：刚才几组题目，被开方数是具体数字，
8、这一组题目，被开方数中含有字母.师：师：对.那么又应该如何化简呢？先看第（1）题.生生 1111：=|，因为0，所以等于.2mmmm师：师：可以这样书写：=|，因为0，所以=|=.2mmm2mmm请按这样的格式把（2） 、 （3） 、 （4）题练习一下. (学生练习，教师巡视，再请三名学生板演)生生 1212：（2）=|4|，2)4( xx因为4，所以40，xx所以=|4|=4.2)4( xxx生生 1313：（3）=|5|，2)5(mm因为5，所以50，mm所以=|5|=（5）=5.2)5(mmmm生生 1414：（4）+=+=+|1|，b122 bbb2) 1( bbb因为1，所以10，b
9、b所以+b122 bb=+|1|bb=（1）bb=+1=1.bb师：师：做得很好，第(4)题的被开方数不是某数的平方的形式，先运用完全平方公式把它分解为，再利用公式化简.下面我们再做两道题.(挂出小黑板)2(1)b判断下列各式在什么条件下成立？（1）=2； （2）=7.2)2(mm2)7( nn生生 1515：（1）2；（2）7.mn师：师：有什么意见吗？生生 1616：我认为解答不完整，还应加上“等于”.就是：（1）2；（2）7.mn师：师：对.现在是知道了题目及其运算结果一 2，要求反过来确定条件：2)2(mm可以大于 2，也可以等于 2.在反过来确定条件时“等于”很容易漏掉，要引起注意.
10、m师：师：让我们回到这节课开头碰到的问题，的结果到底应该是什么呢？(学生议2)( a论)生生 1717：=|=.2)( aaa生众：生众：不对.=|=|=2)( aaa )0()0(0)0(aaaaa师：师：对！这个问题还是要分三种情况说明，要注意不一定是负数.通过学习，我们a已经知道，等于|，也等于|，这样就不会得到=的错误结果了.2aa2)( aaaa师：师：上一节课，我们学习了二次根式的第个重要公式(0)，今天这节2()aa a课学习了第二个重要公式=|.大家想一想，这两个公式之间有什么联系呢？(学生2aa议论)生生 1818：当0 时，=.(教师板书)a2()a2aa师：师：很好！一般
11、来讲，这两个公式是不同的.首先，从运算顺序看，是先开方再2()a平方，是先平方再开方，运算顺序不同；其次，中的被开方数是，必须大于2aaaa或等于零，而的被开方数是，可以是任何实数，因此取值范围不同；第三，2a2aa，=|，运算结果也不同.但正如这位同学所说，当0 时，2()aa2aaa2()a=，结果一样，这时两个公式统一起来了.当0 时，在实数范围内无意义2aaa2()a了，而=，这个公式最容易搞错，希望同学们引起充分注意.2aa师：师：留作业（略）【案例分析与评价案例分析与评价】在当前大多数教师的教学实践中， “过程性目标”仍然只是一种点缀.在具体落实上， “经历过程”还不够充分，不够自
12、主，流于形式化，教者依然只关注知识技能目标，而不 善于设计、挖掘“过程”本身的价值， “经历过程”被异化为“走过场”.表现在时间的分 配上，教师舍不得“浪费”时间在过程中，总是急不可耐地直奔知识与技能目标，并不真 正让学生去经历、体验、探索. 以本课为例，如果仅从“教知识”的角度出发，五分钟的时间足以搞定.但这样，学生 获得的仅仅只是“知识”而不是“智慧” ，仅仅是“知道”而没有“感悟”.而本案例的教 者，以“经历过程”的视角设计教学过程，从学生的已有经验出发，通过教师的启发性引导，学生完整地经历了公式探究的整个过程，不仅获得了知识与技能，而且收aa2获了思想和能力.学生不再是教师灌输下的知识
13、的被动接收者，而是迸发出学习积极性的、 精神愉快的、乐于思索的、自主的学习者. 本案例启示我们，要真正落实过程性目标，首先要确立“过程本身即是教学目标”的 理念；其次，要重视对过程本身的设计，善于挖掘过程本身的“附加值” ，使过程本身也成 为教学的资源，而不仅仅只是为了获得知识与技能；第三，要切实转变学习方式，多给学生自主探索、动手实践、合作交流的机会；第四，要舍得在过程上花时间，让学生在过程 中体验、学习、感悟到更多的知识以外的东西. 总之，数学教学过程应是一个学生主体性充分发挥的过程，一个数学知识发生、发展 的过程，一个数学思想方法的掌握过程，一个数学能力提高的过程，一个思维品质形成和 发展的过程.这些过程相互作用、相互影响、相互依赖、相互融合，共同决定着学习的质量 和效果.
