计算电磁学中的积分方程法

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1、计算电磁学中积分方程方法计算电磁学中积分方程方法 胡 俊 电子科技大学 得宜于电子计算机与数值算法的快速发展，以计算机数值求解电磁问题的科学计算电磁学已成为十分热门的研究方向，现已广泛应用于先进作战武器设计、雷达目标自动识别、地球物理探测、 微波遥感与成象、 微波集成电路设计、 高速电路信号完整性分析等众多领域。其编制的数值程序极强的通用性、 普适性与可靠性， 使该学科成为了除实验测量以外的重要电磁分析手段。 第一章 矩量法概论第一章 矩量法概论 随着计算机技术的发展，我们可以进行的计算量越来越大，精度越来越高。在绝大多数情况下，数值算法的精度都可以达到要求，并且，应用数值算法还可以解决用解析

2、法不能解决的问题。因此，数值方法的应用越来越广泛，而以数值计算为基础的计算电磁学在过去的几十年里也得到了长足的发展。本章所谈到的矩量法就是计算电磁学中的一种常用计算方法。 矩量法既可用于求解微分方程， 也可用于求解积分方程。 但目前已经有了求解微分方程的有效方法差分法、有限元法，所以矩量法大多用来求解积分方程。 目前，矩量法的应用已相当广泛。例如，求天线的辐射场时，首先用矩量法求解天线上的电流分布，即求解电流分布的积分方程；求某个目标的散射场或透射场时，也要先用矩量法来求解目标上的电流分布，得出电流分布后再由积分求得总场。 本章简要介绍了矩量法的基本理论和求解过程， 对于它的详细介绍及更多应用

3、， 请参考有关文献23。 1.1 矩量法的数学基础 1.1 矩量法的数学基础 矩量法的基本思想是将一个泛函方程化为一个矩阵方程， 然后用人们熟知的方法求解该矩阵方程。这要用到线性空间和算子的概念，因此，在介绍矩量法之前，我们要先介绍一些这方面的基础知识。 考虑两个非空空间 A 和 B，其元素分别为321,aaa和321,bbb，我们定义映射 M为这样一个规则，即 A 的每个元素 a 对应一个 B 的元素 b，这个映射运算符号表示为)(aMb = 一些有意义的特定映射是： 函数表示为)(xfy =，把具有元素 x 的标量空间 X 映射到具有元素 y 的标量空间Y。 泛函表示为)( f=，把具有元

4、素 f 的函数空间 F 映射到具有元素的标量空间R。 算子表示为)( fLg =，把一个函数空间映射到自己当中，即 f 和 g 是同一空间的元素。 通常，函数的逆1f和算子的逆1L都是存在的，但泛函的逆极少存在。 （即一个函数空间通常不能和一个标量空间有一一对应关系） 根据线性空间的理论，N 个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程， 这类算子方程可化为矩阵方程求解。 由于在求解过程中，需要计算广义矩量，故称这种方法为矩量法。即矩量法是将算子方程化为矩阵方程，然后求解该矩阵方程的方法。 现有算子方程如下： gfL=)( L 为算子。如前所述，算子可以是

5、微分方程、差分方程或积分方程。G 是已知函数如激励源，f 为未知函数如电流。假定算子方程的解存在且是唯一的，则有逆算子1L存在，使)(1gLf=成立，其中 L 与1L互为逆算子。 算子 L 的定义域为算子作用于其上的函数 f 的集合。 算子 L 的值域为算子在其定义域上运算而得的函数 g 的集合。 假定两个函数1f和2f以及两个任意常数1a和2a，若下面的关系存在 )()()(22112211fLafLafafaL+=+ 则称 L 为线性算子。 在应用矩量法处理问题的过程中，需要求内积=Lff，则算子为正定算子；若0,*Lff，则算子为半正定算子，若0,*=nmmnLfwl, 可知，对它的计算

6、一般要进行两次积分，即算子 L 的积分和内积的积分。如果nLf只能用数值积分进行计算，显然选择基函数的形式应该越简单越好，例如可选择脉冲函数等；但是，如果能选择某一基函数，使nLf能得到解析表达式，从而避免数值积分，那是更为理想的。至于检验函数的选择， 自然是选择点匹配法比伽略金法要好， 因为点匹配法不需要进行积分。影响计算时间的另一因素是矩阵l的阶数，阶数 N 越高，则求2N个矩阵元素所需的时间就越长； 更重要的是， 对l矩阵求逆所需的时间一般是按3N来增加的， 因此， 随着 N 的增大，求解方程组所花的时间会急剧增加。在保证一定精度的前提下，阶数 N 主要取决于选择的基函数和与之对应的物理

7、量之间的接近程度，两者越接近，收敛越快，所需的 N 越小。 综上所述，基函数和检验函数的选择要根据具体问题而定。一般选全域基时，检验函数既可选点匹配法也可选伽略金法， 但选用分域基时检验函数多采用点匹配法， 而采用伽略金法较少。 1.4 矩量方程组的求解 1.4.1 主元消去法 1.4 矩量方程组的求解 1.4.1 主元消去法 在线性媒质中，用矩量法得出的线性方程组的系数矩阵一般不是对称正定矩阵，所以不采用高斯消元法求解，而多采用列主元消去法或全主元消去法。 为了说明选择计算方法的重要性，下面举一个例子。设有方程组 =+=+00. 200. 100. 100. 100. 10001. 0212

8、1 xxxx它的真解为（精确到小数点后 5 位） =99990. 000010. 121 xx设采用三位十进制的浮点运算，利用高斯消去法，第一步消去1x，若用 0.0001 作为主元素，即将第一行的各元素乘以 1/0.0001 再减去第二行，可得00. 12=x，将它代入第一行得到00. 01=x。显然，这一解答无精度可言。得出这一错误结果的主要原因在于第一步的主元素太小，使消去过程得不到正确的上三角形方程组。现若改用第二行中1x的系数 1.00 作为主元素，消去第一行中的1x,则可得到方程 00. 100. 12=x 从而得到解答 =00. 100. 121 xx显然，这是真解的三位有效数字

9、的正确舍入值。 在主元消去法中，每消去一个未知数，都应选择一个相应的最大系数作主元素，以避免引起很大的计算误差。如果要消去jx，则可在jx所在列中选取最大的系数作为主元素，这种方法称为列主元消去法，相应地，还有行主元、全主元消去法等等。一般地说，列主元消去法比较简单，且有足够的精度，故通常采用这种方法。 1.4.2 解的稳定性 1.4.2 解的稳定性 对于矩阵方程组VIZ=,其解为VZI=1,当Z为奇异时，1Z不存在，因而方程组的解也不存在。而当Z接近奇异时， ，解不稳定，这种接近奇异的矩阵称为病态矩阵。在二维的情况下， 奇异矩阵意味着两条线在空间平行， 因而无解； 良态矩阵则意味着两线相交，

10、且夹角接近90，因此解对计算过程中的浮点舍入误差不敏感。而当两条直线在空间的夹角接近零时， 计算过程中的浮点舍入误差会引起交点在较大范围内的变动， 解因不稳定而变得不可信。下面举一个良态矩阵的例子： =+=+ 200100100700400300 yxyx其解为1, 1=yx。若方程由于计算中的舍入误差，使x的系数稍有变动，方程组变为 =+=+ 200100101700400303 yxyx则解变为1,99. 0=yx。可见，方程组中x的系数变化 1%后，解也相应地变化了 1%，方程组的解是稳定的。 相反，对于病态矩阵，如 =+=+ 233133100700400300 yxyx其解为1, 1

11、=yx。而当方程组的系数稍有变化后，如变为 =+=+ 232133100700400300 yxyx或 =+=+ 233132100700400300 yxyx后，方程组的解分别变为4, 3=yx和41, 2=yx，解的变化情况很大。显然，这就是病态情况。 判断一个矩阵是良态还是病态的方法如下：首先，将矩阵方程组归一化；然后，判断归一化后得到的矩阵行列式的值。若行列式接近于 1，则矩阵是良态的；反之，若行列式远小于 1，则表示矩阵是病态的，小的愈多，表示矩阵病态愈严重。在实际计算中若遇到参数稍有变化而解不稳定时， 应检查矩阵是否为病态， 尤其应检查未知量的展开式是否符合边界条件的要求，若不符合

12、边界条件则无法得到合适的解。 1.4.3 解的正确性检查 1.4.3 解的正确性检查 在应用矩量法求得电磁场边值问题的解答后，应对解的正确性进行检查。 把计算结果与实验结果进行对比，是检验计算结果的一种很有效的方法。一般来说，这两者之间会存在一定的差别，这是因为数学模型与实际的物理问题之间总是有一定的差异， 抽象出来的数学模型不可能与实际的物理问题完全一致。 只要差别在我们可以接受的范围之内，就可以认为数值计算的结果与正确的。 除了将计算结果与实验结果进行对比之外，还可以把计算结果与已知的解析解进行对比。但由于解析法只能求解少数典型问题，因此有可能找不到合适的解析解来进行比较。所以，有时我们将

13、数学模型的参数加以变动，来计算典型问题的解，以此来间接推论数值解的正确性。 除了上述方法之外，也可以用求得的解答是否满足原始边界条件来检查解的正确性。但由于很难找到满足边界条件的程度与某些工程参数之间的关系， 所以不易由此来判断解的计算精度。 此外，还有一些方法，如解是否满足互易原理和能量守恒定律等等。由于通过矩量法由算子方程导出的矩阵方程严格满足互易关系， 所以不管解答是否正确， 它是遵守互易原理的。虽然互易性是解必须满足的条件，而不是证明解的正确性的充分条件，但它仍然可以作为数值解的检验方法之一。 能量守恒定律要求入射到无耗无源散射体上的功率，等于散射波带走的功率。由于矩量法的固有特性，其

14、解会自动调节到始终满足能量守恒定律，因此，与互易关系一样，能量守恒定律也不是检验解正确性的充分条件。 此外，还可以选择不同的基函数来表示未知量。如果两种基函数不同而得到的解相同，那么就可以认为解为正确解的概率较大。并且，选取的两个基函数差别越大，解为正确解的概率就越大。 注意，在检查解的正确性之前，应先检查解的收敛性。一般所采用的方法是逐渐加大展开基函数的数目，同时观察计算结果的收敛程度。 综上所述，检验解的正确性有多种方法，但用实验结果来检验是最可靠的。 第二章 无限长导电柱体的电磁散射分析 第二章 无限长导电柱体的电磁散射分析 考虑无限长导电柱体情形。入射波为 TEM 平面波，相对于柱体中

15、心以角度i入射。且入射波的电场方向平行于柱体的轴向（设该方向为z方向） ，我们称这种情况下的入射波为 TM 模式入射波。在入射场的激励下，柱体上会产生感应电流，从而在空间中激发出散射场，我们所要求解的问题就是在这种情况下空间中的场分布。 积分方程方法 积分方程方法 积分方程方法是计算散射场最普通的方法。应用这种方法时，我们直接将柱体看作一个散射体，入射场照射到柱体表面上会使其产生感应电流，感应电流在空间中产生散射场，空间中的总场即为散射场与已知的入射场之和，可表示为 )(,)(rErJErEis+= (2-1) 其中,rJEs表示散射场，)(rEi表示入射场。散射场,rJEs又可由矢量位和标量位表示为 )()(,rrAjrJEs= (2-2) 其中 =) ,() ()(dSrrGrJrA (2-3) =) ,()()(dSrrGrJkjrs(2-4) 分别为场的矢量位和标量位。上式中) ,(rrG为格林函数，=为波阻抗，=k为波数，表示积分区域。根据场的边界条件，柱体表面的切向电场必须为零，于是有 SrrErJEis=+,0)(,tantan(2-5) sEtan和iEtan分别表示导体表面处散射场和入射场的切向分量，下标tan表示“切向分量”的意思，S 表示开槽柱体的表面。 由于入射波为 TM 模式，根据电磁场的基本理论我们可以知